matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Schulmathe
  Status Primarstufe
  Status Mathe Klassen 5-7
  Status Mathe Klassen 8-10
  Status Oberstufenmathe
    Status Schul-Analysis
    Status Lin. Algebra/Vektor
    Status Stochastik
    Status Abivorbereitung
  Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Bundeswettb. Mathe
    Status Deutsche MO
    Status Internationale MO
    Status MO andere Länder
    Status Känguru
  Status Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > MatheForen > Uni-Sonstiges > Additionstheoreme
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Uni-Sonstiges" - Additionstheoreme
Additionstheoreme < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Additionstheoreme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:50 Fr 01.08.2008
Autor: tedd

Aufgabe
Entwickeln Sie mit Hilfe der Additionstheoreme Formeln für:
sin(2x);sin(3x)

Also ich habe mich da an folgendem Additionstheorem bedient:
[mm] sin(x_1\pm x_2)=sin x_1*cos x_2\pm [/mm] cos [mm] x_1*sin x_2 [/mm]

Aus
[mm] sin(2x)=sin(x_1+x_2)=sin x_1*cos x_2+cos x_1*sin x_2=2*sin [/mm] x*cos x, da [mm] x_1=x_2 [/mm]

kann ich da noch weiter vereinfachen?

Bei folgendem bin ich mir nicht ganz so sicher:
[mm] sin(3x)=sin(x_1+x_2+x_3)=sin x_1*cos x_2+cos x_1*sin x_2+sin x_3*cos x_1+cos x_3*sin x_1+sin x_3*cos x_2+cos x_3*sind x_2=6*sin [/mm] x*cos x , da [mm] x_1=x_2=x_3? [/mm]

Ist die Aufgabe richtig gelöst?
Danke und Gruß,
tedd
        
Bezug
Additionstheoreme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:17 Fr 01.08.2008
Autor: M.Rex

Hallo

> Entwickeln Sie mit Hilfe der Additionstheoreme Formeln
> für:
>  sin(2x);sin(3x)
>  Also ich habe mich da an folgendem Additionstheorem
> bedient:
>  [mm]sin(x_1\pm x_2)=sin x_1*cos x_2\pm[/mm] cos [mm]x_1*sin x_2[/mm]
>  
> Aus
> [mm]sin(2x)=sin(x_1+x_2)=sin x_1*cos x_2+cos x_1*sin x_2=2*sin[/mm]
> x*cos x, da [mm]x_1=x_2[/mm]
>  
> kann ich da noch weiter vereinfachen?
>  

Nein, das ist soweit okay, was du []hier auch nachlesen kannst.

> Bei folgendem bin ich mir nicht ganz so sicher:
>  [mm]sin(3x)=sin(x_1+x_2+x_3)=sin x_1*cos x_2+cos x_1*sin x_2+sin x_3*cos x_1+cos x_3*sin x_1+sin x_3*cos x_2+cos x_3*sind x_2=6*sin[/mm]
> x*cos x , da [mm]x_1=x_2=x_3?[/mm]
>  

Das ist so leider nicht richtig.

[]Hier kannst du erkennen, dass [mm] \sind(nx) [/mm] für [mm] n\ge3 [/mm] mit den []Tschebyschow-Polynomen zusammenhängen.

Aber Herleiten kannst du das auch über die eben gezeigte Formel.

[mm] \sin(3x) [/mm]
[mm] =\sin(2x+x) [/mm]
[mm] =\sin(2x)*\cos(x)+\sin(x)*\cos(2x) [/mm]
[mm] =[2*\sin(x)*\cos(x)]*\cos(x)+\sin(x)*[\cos²(x)-\sin²(x)] [/mm]
[mm] =2*\sin(x)*\cos²(x)+\sin(x)*[1-2\sin²(x)] [/mm]
[mm] =2*\sin(x)*[1-\sin²(x)]+\sin(x)*[1-2\sin²(x)] [/mm]

und wenn du das auflöst, kommst du auf das korrekte Ergebnis

Marius
Bezug
                
Bezug
Additionstheoreme: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:28 Fr 01.08.2008
Autor: tedd

Ahh klingt einleuchtend
...
$ [mm] =2\cdot{}\sin(x)\cdot{}[1-\sin²(x)]+\sin(x)\cdot{}[1-2\sin²(x)] [/mm] $
[mm] =2*sin(x)-2*sin^3(x)+sin(x)-2*sin^3(x) [/mm]
[mm] =3*sin(x)-4*sin^3(x) [/mm]

und so stehts dann ja auch in der Formelsammlung.
Vielen Dank für die Hilfe ;)
Besten Gruß,
tedd
Bezug
                
Bezug
Additionstheoreme: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 12:47 Fr 01.08.2008
Autor: abakus


> Hallo
>
> > Entwickeln Sie mit Hilfe der Additionstheoreme Formeln
> > für:
>  >  sin(2x);sin(3x)
>  >  Also ich habe mich da an folgendem Additionstheorem
> > bedient:
>  >  [mm]sin(x_1\pm x_2)=sin x_1*cos x_2\pm[/mm] cos [mm]x_1*sin x_2[/mm]
>  >  
> > Aus
> > [mm]sin(2x)=sin(x_1+x_2)=sin x_1*cos x_2+cos x_1*sin x_2=2*sin[/mm]
> > x*cos x, da [mm]x_1=x_2[/mm]
>  >  
> > kann ich da noch weiter vereinfachen?
>  >  
>
> Nein, das ist soweit okay, was du
> []hier
> auch nachlesen kannst.
>  
> > Bei folgendem bin ich mir nicht ganz so sicher:
>  >  [mm]sin(3x)=sin(x_1+x_2+x_3)=sin x_1*cos x_2+cos x_1*sin x_2+sin x_3*cos x_1+cos x_3*sin x_1+sin x_3*cos x_2+cos x_3*sind x_2=6*sin[/mm]
> > x*cos x , da [mm]x_1=x_2=x_3?[/mm]
>  >  
>
> Das ist so leider nicht richtig.
>  
> []Hier
> kannst du erkennen, dass [mm]\sind(nx)[/mm] für [mm]n\ge3[/mm] mit den
> []Tschebyschow-Polynomen
> zusammenhängen.
>  
> Aber Herleiten kannst du das auch über die eben gezeigte
> Formel.
>  
> [mm]\sin(3x)[/mm]
>  [mm]=\sin(2x+x)[/mm]
>  [mm]=\sin(2x)*\cos(x)+\sin(x)*\cos(2x)[/mm]
>  [mm]=[2*\sin(x)*\cos(x)]*\cos(x)+\sin(x)*[\cos²(x)*\sin²(x)][/mm]

Hier hat sich in der letzten Klammer ein Schreibfehler eingeschlichen. Es heißt natürlich [mm] [\cos²(x)\red{-}\sin²(x)] [/mm]
Gruß Abakus

>  [mm]=2*\sin(x)*\cos²(x)+\sin(x)*[1-2\sin²(x)][/mm]
>  [mm]=2*\sin(x)*[1-\sin²(x)]+\sin(x)*[1-2\sin²(x)][/mm]
>  
> und wenn du das auflöst, kommst du auf das korrekte
> Ergebnis
>  
> Marius

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.schulmatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]