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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:54 So 19.11.2006 | | Autor: | ely_mira |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass
[mm] sin(3\alpha) [/mm] = 3sin [mm] \alpha [/mm] - 4sin³ [mm] \alpha [/mm] und
[mm] cos(3\alpha) [/mm] = 4cos³ [mm] \alpha [/mm] - 3cos [mm] \alpha [/mm] |
Ich habe ein Problem bei oben stehender Aufgabe. Ich weis das ich es mit Hilfe der Additionstheoreme beweisen bzw. zeigen kann, aber irgendwie komm ich net auf ein brauchbares ergebnis.
Additionstheoreme:
[mm] cos(\alpha+\beta) [/mm] = cos [mm] \alpha [/mm] * cos [mm] \beta [/mm] - sin [mm] \alpha [/mm] * sin [mm] \beta
[/mm]
[mm] sin(\alpha+\beta) [/mm] = sin [mm] \beta [/mm] * cos [mm] \alpha [/mm] + sin [mm] \alpha [/mm] * cos [mm] \beta
[/mm]
Doppelte Winkel:
[mm] sin(2\alpha) [/mm] = 2sin [mm] \alpha [/mm] * cos [mm] \alpha
[/mm]
[mm] cos(2\alpha) [/mm] = cos² [mm] \alpha [/mm] - sin² [mm] \alpha
[/mm]
So wie ich das verstanden habe muss ich folgendermaßen an die Aufgabe rangehen:
setze [mm] \alpha [/mm] = [mm] \beta
[/mm]
=> [mm] cos(\alpha+\alpha) [/mm] = cos [mm] \alpha [/mm] * cos [mm] \alpha [/mm] - sin [mm] \alpha [/mm] * sin [mm] \alpha
[/mm]
= cos² [mm] \alpha [/mm] - sin² [mm] \alpha
[/mm]
Jetzt das ganze nochmal angewandt um [mm] cos(3\alpha) [/mm] zu zeigen:
[mm] cos(3\alpha) [/mm] = cos² [mm] \alpha [/mm] - sin² [mm] \alpha [/mm] + cos [mm] \alpha [/mm] * cos [mm] \alpha [/mm] - sin [mm] \alpha [/mm] * sin [mm] \alpha
[/mm]
Und hier bekomm ich nun ein ganz anderes Ergebnis raus, wo liegt mein Fehler? Wer kann mir helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Zeigen Sie, dass
> [mm]sin(3\alpha)[/mm] = 3sin [mm]\alpha[/mm] - 4sin³ [mm]\alpha[/mm] und
> [mm]cos(3\alpha)[/mm] = 4cos³ [mm]\alpha[/mm] - 3cos [mm]\alpha[/mm]
> Ich habe ein Problem bei oben stehender Aufgabe. Ich weis
> das ich es mit Hilfe der Additionstheoreme beweisen bzw.
> zeigen kann, aber irgendwie komm ich net auf ein
> brauchbares ergebnis.
>
> Additionstheoreme:
> [mm]cos(\alpha+\beta)[/mm] = cos [mm]\alpha[/mm] * cos [mm]\beta[/mm] - sin [mm]\alpha[/mm] *
> sin [mm]\beta[/mm]
> [mm]sin(\alpha+\beta)[/mm] = sin [mm]\beta[/mm] * cos [mm]\alpha[/mm] + sin [mm]\alpha[/mm] *
> cos [mm]\beta[/mm]
>
> Doppelte Winkel:
> [mm]sin(2\alpha)[/mm] = 2sin [mm]\alpha[/mm] * cos [mm]\alpha[/mm]
> [mm]cos(2\alpha)[/mm] = cos² [mm]\alpha[/mm] - sin² [mm]\alpha[/mm]
>
> So wie ich das verstanden habe muss ich folgendermaßen an
> die Aufgabe rangehen:
> setze [mm]\alpha[/mm] = [mm]\beta[/mm]
>
> => [mm]cos(\alpha+\alpha)[/mm] = cos [mm]\alpha[/mm] * cos [mm]\alpha[/mm] - sin
> [mm]\alpha[/mm] * sin [mm]\alpha[/mm]
> = cos² [mm]\alpha[/mm] - sin² [mm]\alpha[/mm]
>
> Jetzt das ganze nochmal angewandt um [mm]cos(3\alpha)[/mm] zu
> zeigen:
> [mm]cos(3\alpha)[/mm] = cos² [mm]\alpha[/mm] - sin² [mm]\alpha[/mm] + cos [mm]\alpha[/mm] *
> cos [mm]\alpha[/mm] - sin [mm]\alpha[/mm] * sin [mm]\alpha[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
Schaade, bis dahin war alles richtig. Hm, wahrscheinlich hast Du einmal $\cos{\alpha}$ als Faktor übersehen  ; jedenfalls steht hier 2mal der Ausdruck für $\cos{2\alpha}$. Wenn Du im Additionstheorem für $cos$ $\beta=2\alpha$ einsetzt, dann noch die Terme für $\cos{2\alpha}$ bzw. $\sin{2\alpha}$ ersetzt, und schließlich noch $\sin^2{\alpha$ durch $1-\cos^2{\alpha}$ ersetzt, bekommst Du das gewünschte Ergebnis.
Göruß
zahlenspieler
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 19:14 Mo 20.11.2006 | | Autor: | ely_mira |
Danke für deine schnelle Antwort. Mit deinem Tipp konnte ich die Aufgabe heute ohne weitere Probleme lösen (außer das ich auch noch bei dritten Versuch einen Vorzeichenfehler drin hatte :) ). Flüchtigkeitsfehler halt.
Danke nochmals.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Mo 20.11.2006 | | Autor: | ely_mira |
Danke für deine schnelle Antwort. Mit deinem Tipp konnte ich die Aufgabe heute ohne weitere Probleme lösen (außer das ich auch noch bei dritten Versuch einen Vorzeichenfehler drin hatte :) ). Flüchtigkeitsfehler halt.
Danke nochmals.
PS: Ich raff die Art des Antwortens leider noch nicht so ganz hier in diesem Forum, also bitte entschuldigt, falls ich doppelt gepostet habe.
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Das war leider keine Frage... :-D
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