Additionstheorem Binominreihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:11 Fr 24.07.2009 | | Autor: | ANTONIO |
| Aufgabe | | Für alle s,t [mm] \in \IC [/mm] und jedes z [mm] \in [/mm] E=Einheitskreisscheibe gilt: [mm] B_s(z) \cdot B_t(z) [/mm] = [mm] B_{s+t}(z). [/mm] Folgerung: Für jeden Exponenten s [mm] \in \IQ [/mm] und jedes reelle x [mm] \in [/mm] (-1;1) ist [mm] B_s [/mm] (x) = [mm] (1+x)^s [/mm] |
Guten Abend,
bei Königsberger Analysis 1 6.Aufl. wird das bewiesen. Müßte das nicht auch für -1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 gelten? Das Additionstheorem der Binominalreihen gilt doch für z [mm] \in [/mm] der Einheitskreisscheibe.
Ich freue mich über jeden Hinweis.
Viele Grüße
Antonio
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Fr 24.07.2009 | | Autor: | ANTONIO |
Hallo nochmal,
ich glaube ich habe gerade selbst die Antwort gefunden, machmal hilft es wohl schon die Frage zu formulieren und damit etwas Abstand zu gewinnen: Die allgemeinen Binominalkoeffizienten sind zumindest in meinem Kontext nur für ganze n definiert.
Grüße
Antonio
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:38 Fr 24.07.2009 | | Autor: | ANTONIO |
tut mir leid, das war wohl nix, es geht ja um x und nicht um n, also die Frage ist doch noch aktuell.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:36 Fr 24.07.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Für alle s,t [mm]\in \IC[/mm] und jedes z [mm]\in[/mm]
> E=Einheitskreisscheibe gilt: [mm]B_s(z) \cdot B_t(z)[/mm] =
> [mm]B_{s+t}(z).[/mm] Folgerung: Für jeden Exponenten s [mm]\in \IQ[/mm] und
> jedes reelle x [mm]\in[/mm] (-1;1) ist [mm]B_s[/mm] (x) = [mm](1+x)^s[/mm]
> Guten Abend,
> bei Königsberger Analysis 1 6.Aufl. wird das bewiesen.
> Müßte das nicht auch für -1 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1 gelten? Das
> Additionstheorem der Binominalreihen gilt doch für z [mm]\in[/mm]
> der Einheitskreisscheibe.
Mit [mm] $B_s(z)$ [/mm] meinst du die binomische Reihe, nicht wahr?
Die konvergiert nicht für beliebige s auf dem Rand des Intervalls. Beispiel: s=-1.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Fr 24.07.2009 | | Autor: | ANTONIO |
Danke für Deine Antwort.
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> > Für alle s,t [mm]\in \IC[/mm] und jedes z [mm]\in[/mm]
> > E=Einheitskreisscheibe gilt: [mm]B_s(z) \cdot B_t(z)[/mm] =
> > [mm]B_{s+t}(z).[/mm] Folgerung: Für jeden Exponenten s [mm]\in \IQ[/mm] und
> > jedes reelle x [mm]\in[/mm] (-1;1) ist [mm]B_s[/mm] (x) = [mm](1+x)^s[/mm]
> > Guten Abend,
> > bei Königsberger Analysis 1 6.Aufl. wird das bewiesen.
> > Müßte das nicht auch für -1 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1 gelten? Das
> > Additionstheorem der Binominalreihen gilt doch für z [mm]\in[/mm]
> > der Einheitskreisscheibe.
>
> Mit [mm]B_s(z)[/mm] meinst du die binomische Reihe, nicht wahr?
ja
> Die konvergiert nicht für beliebige s auf dem Rand des
> Intervalls. Beispiel: s=-1.
ja. das finde ich erstaunlich. dann wäre das ein weiterer Fehler bei Königsberger. An anderer Stelle hat Königsberger die absolute Konvergenz der binomischen Reihe auch nur für [mm] \left| z \right| [/mm] < 1 gezeigt und nicht für = 1. Dann würde das Additionstheorem der Binominalreihen ja nur für Werte für z innerhalb der Einheitskreisscheibe gelten und die oben zitierte Folgerung nur für -1 < x < 1. So viel Fehler in einem Standardwerk?
Viele Grüße
Antonio
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Hallo
Ich weiss nicht, ob ich deine Frage richtig verstehe, darum bitte auf "Teilweise beantwortet" stellen :)
> Danke für Deine Antwort.
> >
> > > Für alle s,t [mm]\in \IC[/mm] und jedes z [mm]\in[/mm]
> > > E=Einheitskreisscheibe gilt: [mm]B_s(z) \cdot B_t(z)[/mm] =
> > > [mm]B_{s+t}(z).[/mm] Folgerung: Für jeden Exponenten s [mm]\in \IQ[/mm] und
> > > jedes reelle x [mm]\in[/mm] (-1;1) ist [mm]B_s[/mm] (x) = [mm](1+x)^s[/mm]
> Dann würde das Additionstheorem der Binominalreihen ja
> nur für Werte für z innerhalb der Einheitskreisscheibe
> gelten und die oben zitierte Folgerung nur für -1 < x < 1.
> So viel Fehler in einem Standardwerk?
>
Oben steht ja, "für jedes reelle x [mm] \in [/mm] (-1;1)...". Das ist ja das offene Intervall.. die Punkte -1 und +1 werden nicht angenommen.
Somit ist es ja richtig, dass die oben zitierte Folgerung nur für -1 < x < 1 gilt, nicht [mm] \le...
[/mm]
Ist es das, was du meintest?
> Viele Grüße
> Antonio
>
Grüsse, Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:50 Sa 25.07.2009 | | Autor: | ANTONIO |
Hallo Amaro,
ja , danke für Deine Antwort. Jetzt hab ichs verstanden. Mir war das Zeichen [mm] \in [/mm] nicht für Intervalle geläufig und ich habe es verwechselt mit x [mm] \in [/mm] {-1, 1}. Ich muß mich auch bei Herrn Königsberger entschuldigen. Er spricht von der absoluten Konvergenz "in der Einheitskreisscheibe", das schließt wohl den Rand aus. Danke noch mal und
viele Grüße
Antonio
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