Additionstheorem < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:03 Sa 13.04.2013 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | cos(z)= [mm] \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}
[/mm]
sin(z)= [mm] \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}
[/mm]
Beweise additionstheoreme (!! z [mm] \in \IC)) [/mm] |
Hallo
Es wird so darauf beharrt dass z [mm] \in \IC [/mm] ist.
Heißt der Beweis:
[mm] e^{i(z+w)} [/mm] = [mm] e^{iz+iw} [/mm] = [mm] e^{iz} e^{i w}
[/mm]
(Funktionalgleichung haben wir für komplexe zahlen gezeigT)
cos(z+w) + i sin(z+w)= (cos(z)+i sin(z)) *(cos(w)+i sin(w))= cos(z) cos(w) - sin(z) * sin(w) + i( sin(z) cos(w) + cos(z) sin(w))
ist falsch. Bzw. nur für reelle Zahlen gültig?
DIe nächste Idee war nun das "nicht sehr elegant" auszurechnen
sin(z) * cos (w)= [mm] \frac{1}{4i} (e^{i(z+w)} +e^{i(z-w)}-e^{i(w-z)}-e^{-i(z+w)})
[/mm]
sin(w)* cos(z)= [mm] \frac{1}{4i} (e^{i(z+w)} +e^{i(w-z)}-e^{i(z-w)}-e^{-i(z+w)})
[/mm]
=> sin(z) * cos (w) + sin(w)* cos(z) = [mm] \frac{1}{2i} *(e^{i(z+w)} [/mm] - [mm] e^{-i(z+w)}) [/mm] = sin(z+w)
usw..
Gibts da keinen eleganteren Weg?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:25 Sa 13.04.2013 | | Autor: | abakus |
> cos(z)= [mm]\frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}[/mm]
> sin(z)= [mm]\frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}[/mm]
>
> Beweise additionstheoreme (!! z [mm]\in \IC))[/mm]
>
> Hallo
> Es wird so darauf beharrt dass z [mm]\in \IC[/mm] ist.
>
> Heißt der Beweis:
> [mm]e^{i(z+w)}[/mm] = [mm]e^{iz+iw}[/mm] = [mm]e^{iz} e^{i w}[/mm]
Hallo,
warum nicht einfach cos(z+w)= [mm]\frac{e^{i(z+w)} + e^{-i(z+w)}}{2}[/mm] ansetzen und zeigen, dass das selbe rauskommt wie bei cos(z)*cos(w)-sin(z)*sin(w)?
Gruß Abakus
>
> (Funktionalgleichung haben wir für komplexe zahlen
> gezeigT)
>
> cos(z+w) + i sin(z+w)= (cos(z)+i sin(z)) *(cos(w)+i
> sin(w))= cos(z) cos(w) - sin(z) * sin(w) + i( sin(z) cos(w)
> + cos(z) sin(w))
> ist falsch. Bzw. nur für reelle Zahlen gültig?
>
> DIe nächste Idee war nun das "nicht sehr elegant"
> auszurechnen
> sin(z) * cos (w)= [mm]\frac{1}{4i} (e^{i(z+w)} +e^{i(z-w)}-e^{i(w-z)}-e^{-i(z+w)})[/mm]
>
> sin(w)* cos(z)= [mm]\frac{1}{4i} (e^{i(z+w)} +e^{i(w-z)}-e^{i(z-w)}-e^{-i(z+w)})[/mm]
>
> => sin(z) * cos (w) + sin(w)* cos(z) = [mm]\frac{1}{2i} *(e^{i(z+w)}[/mm]
> - [mm]e^{-i(z+w)})[/mm] = sin(z+w)
> usw..
> Gibts da keinen eleganteren Weg?
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Sa 13.04.2013 | | Autor: | quasimo |
Bitte gesamten Beitrag lesen!
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:45 Sa 13.04.2013 | | Autor: | Rubikon |
Hallo,
du könntest versuchen das Ganze über die Reihenentwicklung des Sinus und Cosinus zu zeigen. Der von dir vorgeschlagene Beweis ist aber wohl der elementarste.
Gruß Rubikon
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