Additionstheorem: < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:20 Sa 13.12.2014 | | Autor: | needmath |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
[mm] A_1cos(\omega*t+\alpha_1)+A_2cos(\omega*t+\alpha_2)=A_rcos(\omega*t+\alpha_r)
[/mm]
und bestimmen Sie [mm] A_r [/mm] und [mm] \alpha_r.
[/mm]
Verwenden Sie dabei das Additionstheorem: [mm] cos(\alpha+\beta)=cos(\alpha)*cos(\beta)-sin(\alpha)*sin(\beta) [/mm] |
[mm] A_1cos(\omega*t+\alpha_1)+A_2cos(\omega*t+\alpha_2)
[/mm]
= [mm] A_1cos(\omega*t)*A_1cos(\alpha_1)-A_1sin(\omega*t)*A_1sin(\alpha_1)+ A_2cos(\omega*t)*A_2cos(\alpha_2)-A_2sin(\omega*t)*A_2sin(\alpha_2)
[/mm]
wie mache ich weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:15 Sa 13.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie:
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> [mm]A_1cos(\omega*t+\alpha_1)+A_2cos(\omega*t+\alpha_2)=A_rcos(\omega*t+\alpha_r)[/mm]
>
> und bestimmen Sie [mm]A_r[/mm] und [mm]\alpha_r.[/mm]
>
> Verwenden Sie dabei das Additionstheorem:
> [mm]cos(\alpha+\beta)=cos(\alpha)*cos(\beta)-sin(\alpha)*sin(\beta)[/mm]
>
> [mm]A_1cos(\omega*t+\alpha_1)+A_2cos(\omega*t+\alpha_2)[/mm]
>
> =
> [mm]A_1cos(\omega*t)*A_1cos(\alpha_1)-A_1sin(\omega*t)*A_1sin(\alpha_1)+ A_2cos(\omega*t)*A_2cos(\alpha_2)-A_2sin(\omega*t)*A_2sin(\alpha_2)[/mm]
>
> wie mache ich weiter?
Lasse das Add. - Theorem auch auf [mm] A_rcos(\omega*t+\alpha_r) [/mm] los.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Sa 13.12.2014 | | Autor: | needmath |
hallo,
[mm] A_1cos(\omega*t+\alpha_1)+A_2cos(\omega*t+\alpha_2)=A_rcos(\omega*t+\alpha_r)
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] A_1cos(\omega*t)*A_1cos(\alpha_1)-A_1sin(\omega*t)*A_1sin(\alpha_1)+ A_2cos(\omega*t)*A_2cos(\alpha_2)-A_2sin(\omega*t)*A_2sin(\alpha_2)=A_rcos(\omega*t)*A_rcos(\alpha_r)-A_rsin(\omega*t)*A_rsin(\alpha_r)
[/mm]
soll ich hier jetzt [mm] A_1, A_2 [/mm] und [mm] A_3 [/mm] ausklammern?
[mm] A_1^2(cos(\omega*t)cos(\alpha_1)-sin(\mega*t)sin(\alpha_1))+A_2^2(cos(\omega*t)cos(\alpha_2)-sin(\omega*t)sin(\alpha_2))=A_r^2(cos(\omega*t)cos(\alpha_r)-sin(\omega*t)sin(\alpha_r))
[/mm]
wie mache ich weiter?
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Hallo needmath,
> hallo,
>
> [mm]A_1cos(\omega*t+\alpha_1)+A_2cos(\omega*t+\alpha_2)=A_rcos(\omega*t+\alpha_r)[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]A_1cos(\omega*t)*A_1cos(\alpha_1)-A_1sin(\omega*t)*A_1sin(\alpha_1)+ A_2cos(\omega*t)*A_2cos(\alpha_2)-A_2sin(\omega*t)*A_2sin(\alpha_2)=A_rcos(\omega*t)*A_rcos(\alpha_r)-A_rsin(\omega*t)*A_rsin(\alpha_r)[/mm]
>
Diese Gleichung muss doch lauten:
[mm]A_1*cos(\omega*t)*cos(\alpha_1)-A_1*sin(\omega*t)*sin(\alpha_1)+ A_2*cos(\omega*t)*cos(\alpha_2)-A_2*sin(\omega*t)*sin(\alpha_2)=A_r*cos(\omega*t)*cos(\alpha_r)-A_r*sin(\omega*t)*sin(\alpha_r)[/mm]
Vergleiche jetzt die Koeffizienten vor [mm]\sin\left(\omega*t\right)[/mm] und [mm]\cos\left(\omega*t\right)[/mm]
Dann erhältst Du zwei Gleichungen
aus denen [mm]A_{r}[/mm] und [mm]\alpha_{r}[/mm] ermittelt werden können.
> soll ich hier jetzt [mm]A_1, A_2[/mm] und [mm]A_3[/mm] ausklammern?
>
>
> [mm]A_1^2(cos(\omega*t)cos(\alpha_1)-sin(\mega*t)sin(\alpha_1))+A_2^2(cos(\omega*t)cos(\alpha_2)-sin(\omega*t)sin(\alpha_2))=A_r^2(cos(\omega*t)cos(\alpha_r)-sin(\omega*t)sin(\alpha_r))[/mm]
>
> wie mache ich weiter?
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Sa 13.12.2014 | | Autor: | needmath |
hallo
> Diese Gleichung muss doch lauten:
>
> [mm]A_1*cos(\omega*t)*cos(\alpha_1)-A_1*sin(\omega*t)*sin(\alpha_1)+ A_2*cos(\omega*t)*cos(\alpha_2)-A_2*sin(\omega*t)*sin(\alpha_2)=A_r*cos(\omega*t)*cos(\alpha_r)-A_r*sin(\omega*t)*sin(\alpha_r)[/mm]
>
> Vergleiche jetzt die Koeffizienten vor
> [mm]\sin\left(\omega*t\right)[/mm] und [mm]\cos\left(\omega*t\right)[/mm]
>
> Dann erhältst Du zwei Gleichungen
> aus denen [mm]A_{r}[/mm] und [mm]\alpha_{r}[/mm] ermittelt werden können.
dann hätte ich [mm] A_r [/mm] und [mm] \alpha_r [/mm] bestimmt, aber wäre die aufgabe damit gelöst? ich muss ja noch zeigen das die gleichung in der aufgabe gilt oder?
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Hallo needmath,
> hallo
>
> > Diese Gleichung muss doch lauten:
> >
> >
> [mm]A_1*cos(\omega*t)*cos(\alpha_1)-A_1*sin(\omega*t)*sin(\alpha_1)+ A_2*cos(\omega*t)*cos(\alpha_2)-A_2*sin(\omega*t)*sin(\alpha_2)=A_r*cos(\omega*t)*cos(\alpha_r)-A_r*sin(\omega*t)*sin(\alpha_r)[/mm]
>
> >
> > Vergleiche jetzt die Koeffizienten vor
> > [mm]\sin\left(\omega*t\right)[/mm] und [mm]\cos\left(\omega*t\right)[/mm]
> >
> > Dann erhältst Du zwei Gleichungen
> > aus denen [mm]A_{r}[/mm] und [mm]\alpha_{r}[/mm] ermittelt werden
> können.
>
>
> dann hätte ich [mm]A_r[/mm] und [mm]\alpha_r[/mm] bestimmt, aber wäre die
> aufgabe damit gelöst? ich muss ja noch zeigen das die
> gleichung in der aufgabe gilt oder?
Nein, wenn Du [mm]A_{r}[/mm] und [mm]\alpha_{r}[/mm] bestimmt hast,
dann ist die Aufgabe gelöst.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Sa 13.12.2014 | | Autor: | needmath |
[mm] A_1*cos(\omega*t)*cos(\alpha_1)-A_1*sin(\omega*t)*sin(\alpha_1)+ A_2*cos(\omega*t)*cos(\alpha_2)-A_2*sin(\omega*t)*sin(\alpha_2)=A_r*cos(\omega*t)*cos(\alpha_r)-A_r*sin(\omega*t)*sin(\alpha_r)
[/mm]
Koeffizientenvergleich:
[mm] cos(\omega*t):
[/mm]
[mm] A_1cos(\alpha_1)+A_2cos(\alpha_2)=A_rcos(\alpha_r)
[/mm]
[mm] sin(\omega*t):
[/mm]
[mm] -A_1sin(\alpha_1)-A_2sin(\alpha_2)=-A_rsin(\alpha_r)
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] A_r=\bruch{A_1cos(\alpha_1)+A_2cos(\alpha_2)}{cos(\alpha_r)}
[/mm]
in die andere Gleichung eingesetzt:
[mm] -A_1sin(\alpha_1)-A_2sin(\alpha_2)=\bruch{(-A_1cos(\alpha_1)-A_2cos(\alpha_2))*sin(\alpha_r)}{cos(\alpha_r)}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \bruch{-A_1sin(\alpha_1)-A_2sin(\alpha_2)}{-A_1cos(\alpha_1)-A_2cos(\alpha_2}= \bruch{sin(\alpha_r)}{cos(\alpha_r)}
[/mm]
[mm] \bruch{sin(\alpha_r)}{cos(\alpha_r)}=tan(\alpha_r
[/mm]
aber wie vereinfache ich den linken term?
[mm] \bruch{-A_1sin(\alpha_1)-A_2sin(\alpha_2)}{-A_1cos(\alpha_1)-A_2cos(\alpha_2}=?
[/mm]
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Hallo needmath,
>
> [mm]A_1*cos(\omega*t)*cos(\alpha_1)-A_1*sin(\omega*t)*sin(\alpha_1)+ A_2*cos(\omega*t)*cos(\alpha_2)-A_2*sin(\omega*t)*sin(\alpha_2)=A_r*cos(\omega*t)*cos(\alpha_r)-A_r*sin(\omega*t)*sin(\alpha_r)[/mm]
>
> Koeffizientenvergleich:
>
> [mm]cos(\omega*t):[/mm]
>
> [mm]A_1cos(\alpha_1)+A_2cos(\alpha_2)=A_rcos(\alpha_r)[/mm]
>
> [mm]sin(\omega*t):[/mm]
>
> [mm]-A_1sin(\alpha_1)-A_2sin(\alpha_2)=-A_rsin(\alpha_r)[/mm]
>
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]A_r=\bruch{A_1cos(\alpha_1)+A_2cos(\alpha_2)}{cos(\alpha_r)}[/mm]
>
[mm]A_{r}[/mm] bekommst Du doch, wenn Du die beiden Gleichungen quadrierst,
den trigonometrischen Pythagoras auf der rechten Seite anwendest
und schliesslich die Wurzel ziehst.
> in die andere Gleichung eingesetzt:
>
>
> [mm]-A_1sin(\alpha_1)-A_2sin(\alpha_2)=\bruch{(-A_1cos(\alpha_1)-A_2cos(\alpha_2))*sin(\alpha_r)}{cos(\alpha_r)}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{-A_1sin(\alpha_1)-A_2sin(\alpha_2)}{-A_1cos(\alpha_1)-A_2cos(\alpha_2}= \bruch{sin(\alpha_r)}{cos(\alpha_r)}[/mm]
>
>
>
> [mm]\bruch{sin(\alpha_r)}{cos(\alpha_r)}=tan(\alpha_r[/mm]
>
>
> aber wie vereinfache ich den linken term?
>
> [mm]\bruch{-A_1sin(\alpha_1)-A_2sin(\alpha_2)}{-A_1cos(\alpha_1)-A_2cos(\alpha_2}=?[/mm]
>
Der linke Term ist so stehen zu lassen, wie er ist.
Darauf jetzt die Umkehrfunktion des Tangens angewendet,
und Du erhältst [mm]\alpha_{r}[/mm].
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:50 Sa 13.12.2014 | | Autor: | needmath |
Hallo
> >
> [mm]A_r=\bruch{A_1cos(\alpha_1)+A_2cos(\alpha_2)}{cos(\alpha_r)}[/mm]
> >
>
>
> [mm]A_{r}[/mm] bekommst Du doch, wenn Du die beiden Gleichungen
> quadrierst,
> den trigonometrischen Pythagoras auf der rechten Seite
> anwendest
> und schliesslich die Wurzel ziehst.
aber so wie ich es gemacht habe, kann man es doch auch [mm] A_r [/mm] oder? wenn ich den Winkel [mm] \alpha_r [/mm] bestimmt, dann kann ich [mm] A_r [/mm] so wie ich es gemacht habe bestimmen oder nicht?
(bitte auf diese fragen auch eingehen)
ich bestimme dann [mm] A_r [/mm] so wie du es vorgeschlagen hast
[mm] A_1cos(\alpha_1)+A_2cos(\alpha_2)=A_rcos(\alpha_r)
[/mm]
[mm] -A_1sin(\alpha_1)-A_2sin(\alpha_2)=-A_rsin(\alpha_r)
[/mm]
beide Gleichung Quadrieren:
[mm] (A_1cos(\alpha_1)+A_2cos(\alpha_2))^2=A_r^2cos^2(\alpha_r)
[/mm]
[mm] (-A_1sin(\alpha_1)-A_2sin(\alpha_2))^2=-A_r^2sin^2(\alpha_r)
[/mm]
bei der rechten seite der 1 gleichung habe ich nun die trigonometrischen Pythagoras angewendet:
[mm] (A_1cos(\alpha_1)+A_2cos(\alpha_2))^2=A_r^2(1-sin^2(\alpha_r))
[/mm]
[mm] (-A_1sin(\alpha_1)-A_2sin(\alpha_2))^2=-A_r^2sin^2(\alpha_r)
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] (A_1cos(\alpha_1)+A_2cos(\alpha_2))^2=A_r^2-A_r^2sin^2(\alpha_r))
[/mm]
[mm] (A_1cos(\alpha_1)+A_2cos(\alpha_2))^2=A_r^2+(-A_1sin(\alpha_1)-A_2sin(\alpha_2))^2
[/mm]
[mm] A_r=\wurzel{(A_1cos(\alpha_1)+A_2cos(\alpha_2))^2-(-A_1sin(\alpha_1)-A_2sin(\alpha_2))^2}
[/mm]
bitte auf die frage oben beantworten
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:29 So 14.12.2014 | | Autor: | Fulla |
> Hallo
>
> > >
> >
> [mm]A_r=\bruch{A_1cos(\alpha_1)+A_2cos(\alpha_2)}{cos(\alpha_r)}[/mm]
> > >
> >
> >
> > [mm]A_{r}[/mm] bekommst Du doch, wenn Du die beiden Gleichungen
> > quadrierst,
> > den trigonometrischen Pythagoras auf der rechten Seite
> > anwendest
> > und schliesslich die Wurzel ziehst.
>
>
> aber so wie ich es gemacht habe, kann man es doch auch [mm]A_r[/mm]
> oder? wenn ich den Winkel [mm]\alpha_r[/mm] bestimmt, dann kann ich
> [mm]A_r[/mm] so wie ich es gemacht habe bestimmen oder nicht?
>
> (bitte auf diese fragen auch eingehen)
Ja, das geht auch. Ich hab das oben aber nicht nachgerechnet, da ich auch den Pythagoras genommen habe. Aber MathePowers Antwort mit dem Arcustangens ist auf jeden Fall richtig.
> ich bestimme dann [mm]A_r[/mm] so wie du es vorgeschlagen hast
>
>
>
> [mm]A_1cos(\alpha_1)+A_2cos(\alpha_2)=A_rcos(\alpha_r)[/mm]
>
> [mm]-A_1sin(\alpha_1)-A_2sin(\alpha_2)=-A_rsin(\alpha_r)[/mm]
Multipliziere die letzte Gleichung mit -1, das verhintert die Vorzeichenfehler im Folgenden.
> beide Gleichung Quadrieren:
>
>
> [mm](A_1cos(\alpha_1)+A_2cos(\alpha_2))^2=A_r^2cos^2(\alpha_r)[/mm]
>
> [mm](-A_1sin(\alpha_1)-A_2sin(\alpha_2))^2=\red{-}A_r^2sin^2(\alpha_r)[/mm]
Das rote Minuszeichen ist zuviel.
>
> bei der rechten seite der 1 gleichung habe ich nun die
> trigonometrischen Pythagoras angewendet:
>
> [mm](A_1cos(\alpha_1)+A_2cos(\alpha_2))^2=A_r^2(1-sin^2(\alpha_r))[/mm]
>
> [mm](-A_1sin(\alpha_1)-A_2sin(\alpha_2))^2=-A_r^2sin^2(\alpha_r)[/mm]
So war das nicht gemeint. Du solltest beide Gleichungen quadrieren und dann addieren. Dadurch steht rechts [mm]A_r*(\cos^2(\alpha_r)+\sin^2(\alpha_r))=A_r^2[/mm]
> Daraus folgt:
>
>
> [mm](A_1cos(\alpha_1)+A_2cos(\alpha_2))^2=A_r^2-A_r^2sin^2(\alpha_r))[/mm]
>
>
>
>
>
> [mm](A_1cos(\alpha_1)+A_2cos(\alpha_2))^2=A_r^2+(-A_1sin(\alpha_1)-A_2sin(\alpha_2))^2[/mm]
>
>
> [mm]A_r=\wurzel{(A_1cos(\alpha_1)+A_2cos(\alpha_2))^2-(-A_1sin(\alpha_1)-A_2sin(\alpha_2))^2}[/mm]
Ach so, ja, so geht es auch. Ist halt ein wenig umständlicher. Jetzt kannst du unter der Wurzel noch umformen zu [mm]A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\alpha_1-\alpha_2)[/mm]. Ob das "einfacher" ist, kannst du selbst entscheiden.
>
> bitte auf die frage oben beantworten
Jo, hab ich 
Lieben Gruß,
Fulla
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