Addition von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:40 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Blacky |
| Aufgabe | | Ausgehend von den jeweiligen Potenzreihen weisen Sie [mm] e^{iz}=cos(z)+i*sin(z) [/mm] nach. |
Also mein Ansatz ist folgender:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} ((-1)^n*\bruch{z^{2n}}{(2n)!}+ (-1)^n*\bruch{iz^{2n+1}}{(2n+1)!})
[/mm]
Das sind also die Reihen von cos(z) und i*sin(z) in eine Summe geschrieben. Dies müsste ich ja nun durch bestimmte Umformungen in die Form
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(iz)^n}{n!}
[/mm]
bringen können. Leider tue ich mir sehr schwer mit Fakultäten und Reihen zu rechnen und scheitere daher schon an den ersten Schritten.
Um Hilfe wäre ich sehr dankbar.
M.f.G. Blacky
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:48 Di 11.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Blacky!
Es gilt einerseits: [mm] $z^{2n+1} [/mm] \ = \ [mm] z^{2n}*z^1$ [/mm] .
Sowie $(2n+1)! \ = \ (2n)!*(2n+1)$ .
Zudem solltest Du Dir mal betrachten, was für [mm] $i^n$ [/mm] gilt:
[mm] $$i^1 [/mm] \ = \ i$$
[mm] $$i^2 [/mm] \ = \ -1$$
[mm] $$i^3 [/mm] \ = \ [mm] i^2*i [/mm] \ = \ (-1)*i \ = \ -i$$
[mm] $$i^4 [/mm] \ = \ [mm] i^2*i^2 [/mm] \ = \ (-1)*(-1) \ = \ +1$$
Gruß
Loddar
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