Achsensymmetrie zur WH < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:06 So 06.05.2012 | | Autor: | Abikini |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zeige, dass der Graph der Funktion f(x)= (1-x)/(1+x) achsensymmetrisch zur Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten verläuft.
(Habe mir aufgeschrieben, dass es was mit ner Umkehrfunktion zu tun hat, weiss aber nicht mehr warum).
Damit der Nenner nicht Null wird, darf x nicht -1 sein, also Df=R ohne -1
Achsensymmetrie heißt gerader Exponent, weiter komm ich nicht.
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Hallo!
> Achsensymmetrie heißt gerader Exponent, weiter komm ich
> nicht.
das gilt aber nur für die y-Achse.
Was du brauchst, ist folgender Zusammenhang: Der Graph einer Funktion läßt sich durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden in den Graphen der Umkehrfunktion überführen.
Zeichne dazu mal [mm] y=x^2, [/mm] due Umkehrfunktion [mm] y=\sqrt{x} [/mm] sowie die Winkelhalbierende y=x in ein Diagramm, dann siehst du es. (Du siehst aber auch, daß es da Probleme gibt, die wurzel ist nur eine "halbe liegende Parabel", das ist hier aber egal)
Die Wurzelfunktion ist nicht symmetrisch um die WH. Aber nu zeichne mal [mm] y=\frac{1}{x} [/mm] ein. Das ist symmetrisch. Wie sieht die Umkehrfunktion dazu aus?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 So 06.05.2012 | | Autor: | Abikini |
Dankeschön. Habe das mal gezeichnet, beim ersten ist es glaub ich nur ne halbe Parabel als Umkehrfunktion, weil sonst den x-Werten mehrere y-Werte zugeordnet würden. Eventuell gibts da noch ne zweite U.funktion, nämlich -wurzel(x).
Zum zweiten Teil: Die Umkehrfunktion ist x=1/y bzw. y=1/x, also identisch mit der normalen Funktion.Sie ist eventuell auch asymptotisch (kann man nicht so recht erkennen).
Wie gehts jetzt weiter?
lg
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Hallo!
Naja, das sollte dir zeigen, was es bedeutet, wenn eine Funktion symmetrisch zu der WH ist. Symmetrisch heißt ja, beim Spiegeln bleibt der Kurvenverlauf gleich.
Und der Kurvenverlauf einer Umkehrfunktion ergibt sich ebenfalls durch Spiegelung des Kurvenverlaufs an der WH.
Wie kannst du dann rechnerisch überprüfen, ob eine Funktion symmetrisch zur WH ist? Überleg mal, ist ganz simpel!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 So 06.05.2012 | | Autor: | Abikini |
ja das stimmt.Ich denke, die Umkehrfunktion bilden, dann wieder umstellen und evtl. gucken, ob sie identisch mit der Ausgangsfunktion ist?
Das ist hier ja der Fall, dass beide gleich sind.
lg
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Hallo,
> ja das stimmt.Ich denke, die Umkehrfunktion bilden, dann
> wieder umstellen und evtl. gucken, ob sie identisch mit der
> Ausgangsfunktion ist?
>
> Das ist hier ja der Fall, dass beide gleich sind.
Ja, so ist es.
Es gibt noch eine weitere Möglichkeit, eine solche Aufgabe anzugehen, die auf den ersten Blick kompliziert aussieht, hier aber schnell zu einem Resultat führt. Daher möchte ich sie dir kurz vorrechnen:
Zu jedem Punkt P(x|f(x)) muss der zugehörige Bildpunkt P' die Koordinaten P'(f(x)|x) besitzen. Wenn man also die Funktion auf sich selbst anwendet, also allgemein den Wert f(f(x)) berechnet, so sollte stets x herauskommen. Und das geht hier so:
[mm] f(f(x))=f\left(\bruch{1-x}{1+x}\right)
[/mm]
[mm] =\bruch{1-\bruch{1-x}{1+x}}{1+\bruch{1-x}{1+x}} [/mm] [<- mit 1+x erweitern]
[mm] =\bruch{(1+x)-(1-x)}{(1+x)+(1-x)}
[/mm]
[mm] =\bruch{2x}{2}
[/mm]
=x
Gruß, Diophant
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