Achsenschnittpunkt im Raum < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:01 So 16.11.2008 | | Autor: | fiktiv |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie t so, dass die Gerade durch P(6|4|t) die x-Achse bei x=3 unter 60° schneidet. |
Ich habe ein Problem mit oben genannter Aufgabe, und kann nicht einordnen, wo genau mein Fehler liegt.
Ich beginne also und weiß aus gegebenen Werten, dass die Gerade die x-Achse bei S(3|0|0) im Winkel von 60° schneiden soll.
Daraus erstelle ich mir die gesuchte Geradengleichung:
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 0} [/mm] + r * [mm] \vektor{6-3 \\ 4-0 \\ t-0}
[/mm]
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 0} [/mm] + r * [mm] \vektor{3 \\ 4 \\ t}
[/mm]
(richtig?)
Die Gerade der x-Achse müsste an und für sich schlicht jene sein, oder?:
[mm] \vec{x} [/mm] = r * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Nun kenne ich ja die Kosinusformel:
[mm] cos\gamma [/mm] = [mm] \bruch{\vec{m}_{1} * \vec{m}_{2}} {|\vec{m}_{1}| * |\vec{m}_{2}|}
[/mm]
und wende an:
[mm] cos\gamma [/mm] = [mm] \bruch{\vektor{3 \\ 4 \\ t} * \vektor{1 \\ 0 \\ 0}} {|\vektor{3 \\ 4 \\ t}| * |\vektor{1 \\ 0 \\ 0}|}
[/mm]
und komme zu:
[mm] cos\gamma [/mm] = [mm] \bruch{3} {\wurzel{25+t²} * 1}
[/mm]
Aus der Aufgabenstellung weiß ich, dass [mm] \gamma [/mm] unter 60° sein soll, deshalb nehme ich für [mm] \gamma [/mm] den Wert 45° [mm] (\bruch{1}{2}\wurzel{2}).
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}\wurzel{2} [/mm] = [mm] \bruch{3} {\wurzel{25 + t²} * 1}
[/mm]
Ich forme ein wenig um:
[mm] \bruch{1}{2}\wurzel{2 * (25 + t²)} [/mm] = 3
quadriere:
[mm] \bruch{1}{4} [/mm] * 2 * (50 + t²) = 9
25 + [mm] \bruch{1}{2}t² [/mm] = 36
[mm] \bruch{1}{2}t² [/mm] = 11
t² = 22
t [mm] \approx [/mm] 4,7
Wenn ich nun aber diesen Wert von 4,7 als t eingebe, um zu sehen, ob tatsächlich diese 45° rauskommen, wird mir der Winkel von ~64° angezeigt.
Kann mir jemand von euch erklären, wo der Fehler liegt?
Danke schonmal. 
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 So 16.11.2008 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie t so, dass die Gerade durch P(6|4|t) die
> x-Achse bei x=3 unter 60° schneidet.
> Ich habe ein Problem mit oben genannter Aufgabe, und kann
> nicht einordnen, wo genau mein Fehler liegt.
>
> Ich beginne also und weiß aus gegebenen Werten, dass die
> Gerade die x-Achse bei S(3|0|0) im Winkel von 60° schneiden
> soll.
> Daraus erstelle ich mir die gesuchte Geradengleichung:
> [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{3 \\ 0 \\ 0}[/mm] + r * [mm]\vektor{6-3 \\ 4-0 \\ t-0}[/mm]
>
> [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{3 \\ 0 \\ 0}[/mm] + r * [mm]\vektor{3 \\ 4 \\ t}[/mm]
>
> (richtig?)
> Die Gerade der x-Achse müsste an und für sich schlicht
> jene sein, oder?:
> [mm]\vec{x}[/mm] = r * [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> Nun kenne ich ja die Kosinusformel:
> [mm]cos\gamma[/mm] = [mm]\bruch{\vec{m}_{1} * \vec{m}_{2}} {|\vec{m}_{1}| * |\vec{m}_{2}|}[/mm]
>
> und wende an:
> [mm]cos\gamma[/mm] = [mm]\bruch{\vektor{3 \\ 4 \\ t} * \vektor{1 \\ 0 \\ 0}} {|\vektor{3 \\ 4 \\ t}| * |\vektor{1 \\ 0 \\ 0}|}[/mm]
>
> und komme zu:
> [mm]cos\gamma[/mm] = [mm]\bruch{3} {\wurzel{25+t²} * 1}[/mm]
>
> Aus der Aufgabenstellung weiß ich, dass [mm]\gamma[/mm] unter 60°
> sein soll, deshalb nehme ich für [mm]\gamma[/mm] den Wert 45°
Hallo,
"unter 60°" heißt nicht "kleiner als 60°. "Sie schneiden sich unter einem Winkel von 60°" bedeutet, der Schnittwinkel IST 60°.
Gruß Abakus
> [mm](\bruch{1}{2}\wurzel{2}).[/mm]
> [mm]\bruch{1}{2}\wurzel{2}[/mm] = [mm]\bruch{3} {\wurzel{25 + t²} * 1}[/mm]
>
> Ich forme ein wenig um:
> [mm]\bruch{1}{2}\wurzel{2 * (25 + t²)}[/mm] = 3
> quadriere:
> [mm]\bruch{1}{4}[/mm] * 2 * (50 + t²) = 9
> 25 + [mm]\bruch{1}{2}t²[/mm] = 36
> [mm]\bruch{1}{2}t²[/mm] = 11
> t² = 22
> t [mm]\approx[/mm] 4,7
>
> Wenn ich nun aber diesen Wert von 4,7 als t eingebe, um zu
> sehen, ob tatsächlich diese 45° rauskommen, wird mir der
> Winkel von ~64° angezeigt.
> Kann mir jemand von euch erklären, wo der Fehler liegt?
>
> Danke schonmal.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 So 16.11.2008 | | Autor: | fiktiv |
Hallo, danke für deine Draufsicht.
Okay,
aber im Prinzip behält die Aufgabe ja ihre Gültigkeit, warum komme ich mit der Annahme eines 45° da nicht zu dem richtigen Ergebnis?
Aufgabe mit dem Winkel von 60°:
[mm] \bruch{1}{2}\wurzel{3} [/mm] = [mm] \bruch{3} {\wurzel{25 + t²} \cdot{} 1}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}\wurzel{3 \cdot{} (25 + t²)} [/mm] = 3
[mm] \bruch{1}{2}\wurzel{3 \cdot{} (25 + t²)} [/mm] = 3
quadrieren:
[mm] \bruch{1}{4} \cdot{} [/mm] 3 [mm] \cdot{} [/mm] (50 + t²) = 9
[mm] 37\bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{3}{4}t² [/mm] = 9
[mm] 37\bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{3}{4}t² [/mm] = [mm] -28\bruch{1}{2}
[/mm]
t² = -38
Womit ich dann nicht weiterkomme, weil die Wurzel aus einer negativen Zahl ja tabu ist.
Rechenfehler? Oder ist die Herangehensweise falsch?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 So 16.11.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo, danke für deine Draufsicht.
>
> Okay,
> aber im Prinzip behält die Aufgabe ja ihre Gültigkeit,
> warum komme ich mit der Annahme eines 45° da nicht zu dem
> richtigen Ergebnis?
>
> Aufgabe mit dem Winkel von 60°:
>
> [mm]\bruch{1}{2}\wurzel{3}[/mm] = [mm]\bruch{3} {\wurzel{25 + t²} \cdot{} 1}[/mm]
Soll [mm]\bruch{1}{2}\wurzel{3}[/mm] der Kosinus von 60° sein? Der ist doch 0,5.
>
> [mm]\bruch{1}{2}\wurzel{3 \cdot{} (25 + t²)}[/mm] = 3
> [mm]\bruch{1}{2}\wurzel{3 \cdot{} (25 + t²)}[/mm] = 3
Multipliziere lieber erst mit 2. Dann hast du nicht gleich diese grauenhaften Brüche.
> quadrieren:
> [mm]\bruch{1}{4} \cdot{}[/mm] 3 [mm]\cdot{}[/mm] (50 + t²) = 9
Hier heißt es immer noch [mm] 25+t^2 [/mm] (nicht [mm] 50+t^2).
[/mm]
Gruß Abakus
> [mm]37\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{3}{4}t²[/mm] = 9
> [mm]37\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{3}{4}t²[/mm] = [mm]-28\bruch{1}{2}[/mm]
> t² = -38
>
> Womit ich dann nicht weiterkomme, weil die Wurzel aus einer
> negativen Zahl ja tabu ist.
> Rechenfehler? Oder ist die Herangehensweise falsch?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:52 So 16.11.2008 | | Autor: | fiktiv |
Hallo abakus.
> Soll [mm]\bruch{1}{2}\wurzel{3}[/mm] der Kosinus von 60° sein? Der
> ist doch 0,5.
Sollte ja.. habe ich mich versehen. Danke!
[mm] \bruch{1}{2}\wurzel{25 + t²} [/mm] = 3
[mm] \wurzel{25 + t²} [/mm] = 6
25 + t² = 36
t² = 11
t [mm] \approx [/mm] 3,31
Wenn ich das nun noch einmal durchgehe, erhalte ich als Ergebnis einen Wert für t [mm] \approx [/mm] 3,31.
Dargestellt:
[mm] cos\gamma [/mm] = [mm] \bruch{\vektor{3 \\ 4 \\ 3,31} \cdot{} \vektor{1 \\ 0 \\ 0}} {|\vektor{3 \\ 4 \\ 3,31}| \cdot{} |\vektor{1 \\ 0 \\ 0}|} [/mm]
[mm] cos\gamma [/mm] = [mm] \bruch{3}{\wurzel{9 + 16 + 10,95} \cdot{} 1}
[/mm]
[mm] cos\gamma \approx [/mm] 0,5
Ah.. es hat sich beim Aufschreiben ergeben.
Ich bedanke mich vielmals.
|
|
|
|
