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| Aufgabe | | Ein Raum welcher das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, auch das erste Abzählbarkeitsaxiom erfüllt. |
Hallo
Die Tatsache verstehe ich nicht ganz.
Ist das 2 Abzählbarkeitsaxiom erfüllt so kann man ja jede offene Menge U als abzählbare Vereinigung von Mengen aus der Basis B dargestellt werden.
Das 1Abzählbarkeitsaxiom sagt:
Jeder Punkt eine abzählbare Umgebungsbasis besitzt.
wobei eine Umgebungsbasis wie folgt defeniert ist:
B(x) ist eine Umgebnugsbasis <=> [mm] B(x)\subseteq [/mm] U(x) und [mm] \forall [/mm] V [mm] \in [/mm] U(x) [mm] \exists [/mm] U [mm] \in [/mm] B(x) mit U [mm] \subseteq [/mm] V
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Hallo,
> Ein Raum welcher das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt,
> auch das erste Abzählbarkeitsaxiom erfüllt.
Meister Yoda lässt grüßen 
> Die Tatsache verstehe ich nicht ganz.
> Ist das 2 Abzählbarkeitsaxiom erfüllt so kann man ja
> jede offene Menge U als abzählbare Vereinigung von Mengen
> aus der Basis B dargestellt werden.
Genau.
> Das 1Abzählbarkeitsaxiom sagt:
> Jeder Punkt eine abzählbare Umgebungsbasis besitzt.
> wobei eine Umgebungsbasis wie folgt defeniert ist:
> B(x) ist eine Umgebnugsbasis <=> [mm]B(x)\subseteq[/mm] U(x) und
> [mm]\forall[/mm] V [mm]\in[/mm] U(x) [mm]\exists[/mm] U [mm]\in[/mm] B(x) mit U [mm]\subseteq[/mm] V
Genau.
Was verstehst du denn nicht?
Warum die Implikation 2. Axiom --> 1. Axiom gilt?
Sei $B$ eine Basis der Topologie von $X$.
Sei $x [mm] \in [/mm] X$.
Es ist eine abzählbare Umgebungsbasis von $x$ anzugeben.
Wie wäre es mit $B(x) := [mm] \{U \in B: x \in U\}$ [/mm] ?
(Alle Elemente der Basis $B$, die $x$ enthalten).
Nun muss nachgewiesen werden, dass $B(x)$ wirklich eine abzählbare Umgebungsbasis ist. Sei dazu $V$ eine Umgebung von $x$. Nach Def. der Umgebung gibt es eine offene Menge $V' [mm] \subset [/mm] V$ mit $x [mm] \in [/mm] V'$. Als offene Menge lässt sich $V'$ schreiben als Vereinigung von Elementen aus $B$.
Wegen $x [mm] \in [/mm] V'$ lässt sie sich sogar schreiben als Vereinigung von Elementen aus $B(x)$.
Du musst nun nur ein Element $U$ aus dieser Vereinigung entnehmen. Das erfüllt sicher $U [mm] \subset [/mm] V'$.
Viele Grüße,
Stefan
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> Hallo,
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> > Ein Raum welcher das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt,
> > auch das erste Abzählbarkeitsaxiom erfüllt.
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> Meister Yoda lässt grüßen
>
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> > Die Tatsache verstehe ich nicht ganz.
> > Ist das 2 Abzählbarkeitsaxiom erfüllt so kann man ja
> > jede offene Menge U als abzählbare Vereinigung von Mengen
> > aus der Basis B dargestellt werden.
>
> Genau.
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> > Das 1Abzählbarkeitsaxiom sagt:
> > Jeder Punkt eine abzählbare Umgebungsbasis besitzt.
> > wobei eine Umgebungsbasis wie folgt defeniert ist:
> > B(x) ist eine Umgebnugsbasis <=> [mm]B(x)\subseteq[/mm] U(x) und
> > [mm]\forall[/mm] V [mm]\in[/mm] U(x) [mm]\exists[/mm] U [mm]\in[/mm] B(x) mit U [mm]\subseteq[/mm] V
>
> Genau.
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> Was verstehst du denn nicht?
> Warum die Implikation 2. Axiom --> 1. Axiom gilt?
>
>
> Sei [mm]B[/mm] eine Basis der Topologie von [mm]X[/mm].
> Sei [mm]x \in X[/mm].
> Es ist eine abzählbare Umgebungsbasis von [mm]x[/mm]
> anzugeben.
>
> Wie wäre es mit [mm]B(x) := \{U \in B: x \in U\}[/mm] ?
>
> (Alle Elemente der Basis [mm]B[/mm], die [mm]x[/mm] enthalten).
> Nun muss nachgewiesen werden, dass [mm]B(x)[/mm] wirklich eine
> abzählbare Umgebungsbasis ist. Sei dazu [mm]V[/mm] eine Umgebung
> von [mm]x[/mm]. Nach Def. der Umgebung gibt es eine offene Menge [mm]V' \subset V[/mm]
> mit [mm]x \in V'[/mm]. Als offene Menge lässt sich [mm]V'[/mm] schreiben als
> Vereinigung von Elementen aus [mm]B[/mm].
> Wegen [mm]x \in V'[/mm] lässt sie sich sogar schreiben als
> Vereinigung von Elementen aus [mm]B(x)[/mm].
>
> Du musst nun nur ein Element [mm]U[/mm] aus dieser Vereinigung
> entnehmen. Das erfüllt sicher [mm]U \subset V'[/mm].
Hallo
Sry, dass ich nochmals frage.
Aber wieso hast du damit die abzählbarkeit der Umgebungsbasis gezeigt?
Deine beweiführung habe ich sonst verstanden.
LG
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Hallo,
> > Sei [mm]B[/mm] eine Basis der Topologie von [mm]X[/mm].
> > Sei [mm]x \in X[/mm].
> > Es ist eine abzählbare Umgebungsbasis
> von [mm]x[/mm]
> > anzugeben.
> >
> > Wie wäre es mit [mm]B(x) := \{U \in B: x \in U\}[/mm] ?
> >
> > (Alle Elemente der Basis [mm]B[/mm], die [mm]x[/mm] enthalten).
> > Nun muss nachgewiesen werden, dass [mm]B(x)[/mm] wirklich eine
> > abzählbare Umgebungsbasis ist. Sei dazu [mm]V[/mm] eine Umgebung
> > von [mm]x[/mm]. Nach Def. der Umgebung gibt es eine offene Menge [mm]V' \subset V[/mm]
> > mit [mm]x \in V'[/mm]. Als offene Menge lässt sich [mm]V'[/mm] schreiben als
> > Vereinigung von Elementen aus [mm]B[/mm].
> > Wegen [mm]x \in V'[/mm] lässt sie sich sogar schreiben als
> > Vereinigung von Elementen aus [mm]B(x)[/mm].
> >
> > Du musst nun nur ein Element [mm]U[/mm] aus dieser Vereinigung
> > entnehmen. Das erfüllt sicher [mm]U \subset V'[/mm].
> Aber wieso hast du damit die abzählbarkeit der
> Umgebungsbasis gezeigt?
> Deine beweiführung habe ich sonst verstanden.
Natürlich sollte am Anfang (wie es das 2. Axiom liefert) eine [mm] \underline{abzählbare} [/mm] Basis $B$ der Topologie gewählt werden. Dann ist auch $B(x)$ auch abzählbar (da eine Teilmenge von B).
Viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:16 So 10.02.2013 | | Autor: | theresetom |
Vielen dank ;))
LG
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