Abzählbarkeit von Folgen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 13:08 Sa 19.11.2005 | | Autor: | wimath |
Hallo!
Ich habe folgende Aufgabe: Zeigen Sie, dass die Menge [mm] M_{(2)}:= \begin{cases} (a_{n})_{n \in \IN)} | (a_{n})_{n \in \IN)} \end{cases} [/mm] Folge reeler Zahlen) nicht abzählbar ist.
Anleitung: Nehmen Sie an, dass eine Bijektion
[mm] \IN \to M_{(2)}
[/mm]
k [mm] \mapsto a_{n}^{(k)}_{n \in \IN}
[/mm]
existriert und betrachten Sie die Folge [mm] (b_{n})_{n \in \IN}, [/mm] die definiert ist durch [mm] b_{n}:= a^{(n)}_{n} [/mm] +1
Konstruieren Sie einen Widerspruch ähnlich zum Beweis der Überabzählbarkeit der Reelen Zahlen!
Also ich verstehe nicht zu was in der Folge [mm] b_{n}:= a^{(n)}_{n} [/mm] +1 die 1 addiert wird. Zu der Folge [mm] a^{(n)}_{n} [/mm] ? Was bedeutet dann das, oder wird die 1 jeweils zu den Folgengliedern der Folge [mm] (a_{n})_{n \in \IN)} [/mm] addiert (wenn ja, was bedeutet dann der Index (n) oben bei a?) oder heisst das, dass die Folge [mm] b_{n} [/mm] die "nächste" nach [mm] (a_{n})_{n \in \IN)} [/mm] in [mm] M_{2} [/mm] ?
Wie der Beweis der Überabzählbarkeit der reelen Zahlen funktionert weiss ich ja, man nimmt an die reelen Zahlen wären abzälbar, konstruiert dann ein grosses Intervall in R, unterteilt es in drei (oder mehr) kleiere Intervalle, die nur die Grenzen gemiensam haben, und nimmt an dass wenn die reele Zahl [mm] X_{1} [/mm] in einem Intervall ist, dann ist sie in min. einem nicht enthalten, (sie kann in zwei Intervallen enthalten sein wenn sie ganeu an der Granze diese Intervalle liegt), nun hat man ein Intervall dass diese Zahl nicht enthält, weiter unterteilt man dieses grosse Intervall in n Intervalle nach demselben Prinzip (jedes Intervall [mm] I_{i} [/mm] enthält ein bestimmtes [mm] x_{i} [/mm] nicht), so und jetzt heisst es doch dass, der Schnitt dieser Intervalle nicht leer sein darf (Intervallschachtelungsprinzip), also muss es ein x geben das in allen intervallen drin ist, also wurde dieses x nicht gezählt [mm] \Rightarrow [/mm] man kann nicht die reelen Zahlen mit natürlichen abzählen... korrigiert mich wenn ich falsch liege!
Also wenn ihr meine Verständisschwierigkeiten beseitigen könntet wäre ich sehr froh!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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