Abwicklung eines schräg geschn < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 Do 23.06.2005 | | Autor: | Fussel |
Hallo,
mag mir hierbei jemand helfen:
Ein Drehkegel soll von einer Ebene geschnitten werden, der Öffnungswinkel sei 30° und der Winkel zwischen der Ebene und der Kegelachse 90°, die Schnittkurve ist also eine Ellipse. Ich möchte ein Modell des abgeschnittenen Kegels aus Papier basteln. Wie konstruiere ich den Verlauf der Schnittkurve auf der Abwicklung des Kegelmantels?
Viele Grüße,
Fussel
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Hallo Fussel!
Wenn ich die Aufgabenstellung richtig verstanden habe, dann steht die Ebene senkrecht zur Kegelachse, diese bildet also die Normale der Ebene oder ist parallel zu ihr.
Wenn man sich das jetzt nur mal im Kopf vorstellt, merkt man doch, dass es gar keine eigentliche Ellipse wird, eher der spezielle Fall der Ellipse, nämlich der Kreis.
Rechne dir also zunächst den Abstand des Kreises von der Kegelspitze aus. Jetzt kannst du ja mit Hilfe des Öffnungswinkels von 30° und dem Tangens den Radius des Kreises ausrechnen. Stell dir vor, du schaust von der Seite auf den Kegel und die Ebene verläuft mitten durch dein Auge. Dann sieht man ja quasi zwei Dreiecke, die an der Mittelachse des Kegels gespiegelt sind.
Wenn du den Radius hast, kannst du per Pythagoras die Länge der Seite des Kegels von der Spitze bis zum Rand der Grundfläche ausrechnen (die Grundfläche ist ja der Kreis mit dem zuvor berechneten Radius). Die Länge dieser Seite kannst du nun nutzen um die Abwicklung des Kegels zu zeichnen, indem du deinen Zirkel auf die Länge einstellst und erstmal einen Kreis ziehst.
Mit Hilfe des Öffnungswinkels kannst du nun auch berechnen wie groß der Kreisteil ist, den du wirklich gebrauchen kannst.
Ansonsten kenne ich das Anfertigen einer Abwicklung nur aus der Darstellenden Geometrie, aber ich schätze mal, dass du kein Metalltechnik-LK oder ähnliches belegst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 Fr 24.06.2005 | | Autor: | Fussel |
Hallo NicTheQuick,
das habe ich soweit verstanden, vielen Dank für deine ausführliche Darstellung. Dummerweise habe ich mich aber bei der Aufgabenstellung vertan. Ich meinte als Winkel zwischen Achse und Ebene nicht 90°, sondern 45°. Sorry, die beiden verwechsle ich immer wieder.
Ich meinte also eigentlich doch eine Ellipse, und das macht die Sache etwas komplizierter, denn die Abwicklung ist dann kein Kreisstück, sondern, scheint mir, etwas irgendwie verzerrt Sinuskurvenartiges.
Und wie man eine solche Kurve zeichnet, damit bin ich nach wie vor übefordert.
Gruß,
Fussel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:21 Fr 24.06.2005 | | Autor: | Dreieck |
Hi!
Ich hab mir mal eine moegliche Konstruktion ueberlegt
aber den genauen Kurvenverlauf des Mantels herzuleiten war mir ein bisserl zu umfangreich. Zum basteln ist sicher eine Lichtprojektion einer Strecke (Nadel, Lichtspalt, ...) auf einen Kegel genau genug.
hier meine Idee ausfuehrlicher:
Id 7808
lG
Peter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Fr 24.06.2005 | | Autor: | Dreieck |
Hi!
Ui, eine Gleichung fuer den Mantel des entstandenen schiefen Kegels zu ueberlegen ist sicher ein bisserl langwierig  . Wenn ich mir das so richtig vorstelle, hat der aufgefaltete Mantel (an der kuerzesten Stelle aufgeschnitten) eine Hyperbel-aehnliche Form, wobei die beiden Strecken zur Kegelspitze normal auf die Kurve stehen.
Wie auch immer.
Wahrscheinlich ist es einfacher einen geraden Kegel mit dem Oeffnungswinkel von 30 Grad zu konstruieren. Dazu zeichnet man sich ein Kreissegment mit einem Winkel von ca. 93.175 Grad ( [mm] \sqrt{2-\sqrt{3}}*180 [/mm] Grad - wenn ich mir das richtig ueberlegt hab). Durch Zusamenkleben erhaelst du dann einen Kegel. Dann konstruierst du auf einem Karton eine Ellipse mit einer Haupachse von [mm] \sqrt{2} [/mm] und einer Nebenachse von 1, bzw. besser ein Vielfaches dieser Zahlen, sonst wird das ein bisserl klein (Ellipse zeichnen geht am besten mit einer Schnur mit Laenge der Hauptachse, die man in den beiden Brennpunkten fixiert und mit einem Bleistift durch im "Kreis"-fahren gespannt haelt). Diese Ellipse schneidest du so aus, dass ein Ellipsenloch im Karton ueberbleibt (die Ellipse selbst hebst du dir mal auf). Jetzt steck man den Kegel in das Loch so, dass das Ellipsenloch ganz genau auf den Kegel passt, sprich nirgends ein Spalt ist, dann muesste der Karton einen Winkel von 45 Grad zum Horizont haben (natuerlich vorausgesetzt der Kegel steht normal zum Horizont). Jetzt mit einem Bleistift die Ellipse des Karton entlangfahren und am Kegel einzeichnen. An dieser Linie spaeter entlangschneiden (Laschen fuer Kleben ueberlassen) und dann die aufgehobene Karton-Ellipse draufkleben.
fertig.
Das ganze Verfahren kann man noch verbessern, in dem man sich vielleicht wichtige Punkte ausrechnet und dementsprechend den Karton plaziert. Oder statt der Kartonschablone mit Licht/Schatten arbeitet und damit eine Ebene in 45 Grad darstellt, die den Kegel schneidet und diese so erhaltene Linie mit einem Bleistift entlangfaehrt.
Bessere Ideen sind mir leider noch nicht eingfallen
lG
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:09 Fr 01.07.2005 | | Autor: | Fussel |
Hallo Dreieck,
vielen Dank für Deine Hilfe. Ich habe mir trotzdem nochmal Gedanken gemacht und eine Gleichung gefunden.
Zunächst habe ich ein Koordinatensystem so gewählt, dass die Kegelspitze im Ursprung liegt und die Kegelachse auf der y-Achse, und der Kegelmantel positive y-Werte hat.
Die Punkte auf der Schnittkurve werden angegeben durch
die Höhe h über der xz-Ebene, den Abstand [mm] \fed\mixon\ [/mm] h*tan30 zur y-Achse und den Winkel [mm] \fed\mixon\phi [/mm] dieses Abstands zum ersten Quadranten der xy-Ebene.
Zuerst hatte ich vermutet, die Projektion der Schnittkurve parallel zur y-Achse auf die xz-Ebene sei ein Kreis, dann habe ich gemerkt, das sie doch eine Ellipse sein muß, wobei einer ihrer Brennpunkte im Ursprung liegen muß:
Die Höhe eines Punktes auf dem Kegelmantel nimmt proportional zu seinem Abstand von der y-Achse zu.
Die kurze Achse der Schnittkurve liegt auf der mittleren Höhe [mm] \fed\mixon h_M [/mm] zwischen dem hohen und dem tiefen Scheitelpunkt auf der langen Achse.
Demnach ist die Summe der Abstände dieser beiden Scheitelpunkte von der y-Achse gleich der Summe der Abstände der beiden Scheitelpunkte auf der kurzen Achse von der y-Achse.
Damit konnte ich für die Schnittkurve eine Gleichung finden, die jedem [mm] \fed\mixon\phi [/mm] einen Abstand von der Kegelspitze zuordnet:
f( [mm] \fed\mixon\phi [/mm] )= [mm] \fed\mixon h_M/cos30° (1-tan^2 30°cot^2 45°)/tan30°cot45°cos\phi
[/mm]
Wenne ich nun den Kegelmantel dort aufschneide, wo er den ersten Quadranten der xy-Ebene schneidet, und abwickle, kann ich jedem [mm] \fed\mixon\phi [/mm] einen Winkel [mm] \fed\mixon\theta [/mm] zuordnen zwischen dieser Schnittkante und dem Abstand der Schnittkurve von der Kegelspitze:
[mm] \fed\mixon\theta [/mm] = [mm] \fed\mixon\phi*360°*sin30°
[/mm]
Viele Grüße,
Fussel
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