Abstandsfunktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:26 Mi 20.05.2009 | | Autor: | ANTONIO |
| Aufgabe | Man bestimme die Abstandsfunktion für A=[mm]\IZ[/mm] wobei
Abstandsfunktion definiert zu einer nichtleeren Teilmenge A [mm]\subset\IC[/mm] mit d[mm]_A [/mm]: [mm]\IC \rightarrow \IR[/mm] durch d[mm]_A[/mm](z):= inf [mm] \{ |z-a| mit \quad a \in A \} [/mm] |
Hallo zusammen,
bei Königsberger Analysis 1 wird als Lösung angegeben
[mm] \wurzel{m^2 + y^2} [/mm] mit m:=min{x-[x], x-[x]+1}
Für z= -1,1 + i scheint mir das falsch zu sein mit m={0,9; 1,9}. Die Lösung müßte sein [mm]\wurzel{0,1^2 + 1}[/mm]
Mein Lösungsvorschlag ist [mm] \wurzel{|[z+0,5]-z|^2 + y^2} [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 Mi 20.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Man bestimme die Abstandsfunktion für A=[mm]\IZ[/mm] wobei
> Abstandsfunktion definiert zu einer nichtleeren Teilmenge
> A [mm]\subset\IC[/mm] mit d[mm]_A [/mm]: [mm]\IC \rightarrow \IR[/mm] durch d[mm]_A[/mm](z):=
> inf [mm]\{ |z-a| mit \quad a \in A \}[/mm]
> Hallo zusammen,
> bei Königsberger Analysis 1 wird als Lösung angegeben
> [mm]\wurzel{m^2 + y^2}[/mm] mit m:=min{x-[x], x-[x]+1}
> Für z= -1,1 + i scheint mir das falsch zu sein
Da irrst Du !
> mit m={0,9;
> 1,9}. Die Lösung müßte sein [mm]\wurzel{0,1^2 + 1}[/mm]
> Mein
> Lösungsvorschlag ist [mm]\wurzel{|[z+0,5]-z|^2 + y^2}[/mm]
>
Wie kommst Du darauf ?
[mm]\wurzel{|[z+0,5]-z|^2 + y^2} = \wurzel{0,5^2+y^2}[/mm]
ist sicher falsch
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Mi 20.05.2009 | | Autor: | ANTONIO |
Hallo Fred,
kannst Du mir einen Tipp geben, habe ich m richtig berechnet oder habe ich die Abstandsfunktion überhaupt nicht verstanden? Verbal - entschuldige diese Krücke - ausgedrückt habe ich sie so verstanden, daß der kleinste Abstand von z zur Menge der ganzen Zahlen gesucht ist. im Beispiel mit Koordinatensystem mit -1,1 + i wäre der näheste Punkt von Z doch -1 oder?
Grüße
Antonio
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:54 Mi 20.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
> kannst Du mir einen Tipp geben, habe ich m richtig
> berechnet oder habe ich die Abstandsfunktion überhaupt
> nicht verstanden? Verbal - entschuldige diese Krücke -
> ausgedrückt habe ich sie so verstanden, daß der kleinste
> Abstand von z zur Menge der ganzen Zahlen gesucht ist. im
> Beispiel mit Koordinatensystem mit -1,1 + i wäre der
> näheste Punkt von Z doch -1 oder?
Ja und damit der Abstand $ [mm] \wurzel{0,1^2 + 1} [/mm] $ und nicht $ [mm] \wurzel{0,5^2 + 1} [/mm] $
FRED
> Grüße
> Antonio
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Mi 20.05.2009 | | Autor: | ANTONIO |
meine Lösung ist ja gerade [mm] \wurzel{0,1^2+1[/mm] wie kommst Du auf [mm] o,5^2 [/mm] ?
Antonio
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Mi 20.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Du hattest oben geschrieben:
"Mein Lösungsvorschlag ist $ [mm] \wurzel{|[z+0,5]-z|^2 + y^2} [/mm] $ "
Mittlerweile weiß ich dass da unter der Wurzel Gauß-Klammern stehen
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:07 Mi 20.05.2009 | | Autor: | ANTONIO |
Hallo Fred,
also gemeint habe ich x statt z für z= x+iy, die eckige Klammer ist die Gausklammer, darum herum die Betragsfunktion. Gefunden habe ich die Lösung intuitiv und durch einsetzen verschiedener Werte
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 Mi 20.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) wie kommst du auf das m? fuer z=-1, also [mm] z\in [/mm] A ist d=0
fuer z=1+i ist d=1 nach def. und nach deinem Buch. es sei denn, ich haette dein x falsch interpretiert. es ist doch Re(z)?
Was soll die eckige Klammer um z-0.5 bedeuten die ist doch fuer kompl. Zahlen nicht definiert?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:55 Mi 20.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Hallo leduart,
Antonio meint den Punkt
$z = -1,1+i$
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:19 Mi 20.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo Fred
vergiss das, ich hab endlich kapiert, dass es um x=1.1, y=-i geht.
(Was soll denn z=-1,1+i sein? das ist doch keine komplexe Zahl? es geht doch um [mm] \IC [/mm] und nicht um [mm] \IC^2 [/mm] ?
Oder ich bin ganz falsch in er Diskussion.)
Gruss leduart
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> Hallo Fred
> Was soll denn z=-1,1+i sein? das ist doch keine komplexe
> Zahl?
Hallo,
ich bin nicht der Fred und ich hab' die Diskussion auch nicht verfolgt.
Aber ich schlichtes Gemüt denke mal, daß mit -1,1 gemeint ist [mm] -\bruch{11}{10}.
[/mm]
Gruß v. Angela
es geht doch um [mm]\IC[/mm] und nicht um [mm]\IC^2[/mm] ?
> Oder ich bin ganz falsch in er Diskussion.
> Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:36 Mi 20.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo angela
danke, du warst zu schnell. Irgendwann hab ichs auch gemerkt.
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:04 Mi 20.05.2009 | | Autor: | ANTONIO |
Hallo leduart
a) wie kommst du auf das m? fuer z=-1, also A ist d=0
fuer z=1+i ist d=1 nach def. und nach deinem Buch. es sei denn, ich haette dein x falsch interpretiert. es ist doch Re(z)?
also der Wertebereich ist doch komplex, deshalb ist in meinem Beispiel z=-1,1 + i ; ja x ist der Realteil von z, Der näheste Punkte ist doch -1 also ist doch der Abstand von z zu -1 gesucht, das gent doch nur mit m=0,1 oder?
Was soll die eckige Klammer um z-0.5 bedeuten die ist doch fuer kompl. Zahlen nicht definiert?
Ja das war ein Versehen meinerseits . Gemeint ist die Gausklammer für den Realteil von z also x (z=x +iy)
Gruß Frank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:51 Mi 20.05.2009 | | Autor: | ANTONIO |
Entschuldige bitte leduart, ich meinte der Definitionsbereich ist komplex und der Wertebereich real
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Fr 22.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:00 Mi 20.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> bei Königsberger Analysis 1 wird als Lösung angegeben
> [mm]\wurzel{m^2 + y^2}[/mm] mit m:=min{x-[x], x-[x]+1}
> Für z= -1,1 + i scheint mir das falsch zu sein mit m={0,9;
> 1,9}.
[m][-1.1]=-2[/m], also [m]m:=\min\{|-0.9|,|-0.1|\}[/m] - ich nehme an, es wird das Minimum über die Beträge genommen, oder? Welche Aufgabe ist es denn?
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:05 Mi 20.05.2009 | | Autor: | ANTONIO |
Hallo Ecki
Aufgabe 2a) Kapitel 4.4. Seite 39, 6. Auflage
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Mi 20.05.2009 | | Autor: | ANTONIO |
Hallo Secki, also mir scheint die Frage noch nicht beantwortet. Bei Königsberger ist die Lösung genau so angegeben wie ich sie geschrieben habe, von Betragszeichen ist da nichts zu sehen. Hast Du einen Lösungsvorschlag mit Betragszeichen?
Grüße Frank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Mi 20.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Nochmal: so wie es im Königsberger steht ist es richtig. mal Dir doch mal ein Bild
Ist $z= x+iy$ mit x,y [mm] \in \IR, [/mm] so fälle das Lot auf die reelle Achse. Du landest bei x. Nun ist die zu x am nähesten gelegen ganze Zahl [x] oder [x]+1. Der Abstand dieser ganzen Zahl zu x ist dann m, wobei m:=min{x-[x], x-[x]+1} .
Der gesuchte Abstand ist dann:
[mm] $\wurzel{m^2+y^2}$
[/mm]
Beachte: [x] [mm] \le [/mm] x, also x-[x] [mm] \ge [/mm] 0
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Mi 20.05.2009 | | Autor: | ANTONIO |
Hallo Fred,
bin ich im falschen Film? Ich habe mir ein Bild gemalt! in meinem Beispiel fälle ich das Lot und lande auf der X-Achse bei -1,1, am nächsten ist -1.
rechne ich x - [x] ist das -1,1 -(-2) = -1,1 + 2 = 0,9 und
-1,1 -(-2) + 1 = -1,1+2+1= 1,9, beides falsch !
Grüße Antonio
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Mi 20.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Mann, Mann war ich blind ! Du hast natürlich recht.
Die Def. von m muß lauten:
m:=min{x-[x], [x]+1-x}
Sorry, Fred
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Mi 20.05.2009 | | Autor: | ANTONIO |
Hallo Fred,
wunderbar, Deine Lösung stimmt, die Lösung bei Königsberger ist falsch.
Offen ist immer noch, was mit meiner Lösung mit x anstelle von z ist.
Ich habe den Graph zu beiden Lösungen gezeichnet - ein Sägeblatt mit den Spitzen oben bei 0,5i und Maxima im Abstand von 1. Beide Graphen stimmen überein - nach meiner Meinung. Ich finde meine Lösung aber besser, da sie "determinstischer" ist und nicht eine Auswahl aus einer Menge durch eine Funktion wie min benötigt. Was meinst Du?
Antonio
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 Mi 20.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> wunderbar, Deine Lösung stimmt, die Lösung bei Königsberger
> ist falsch.
Kleiner Tipfehler ... die Zeichnung macht auch eigtl. klar, was die Idee der Lösung ist.
> Offen ist immer noch, was mit meiner Lösung mit x anstelle
> von z ist.
Bitte was? Deine [m]|[z+0.5]-z|[/m]? Die stimmen schon, aber sie sind machen weniger klar, was eigentlich passiert.
> Ich habe den Graph zu beiden Lösungen gezeichnet - ein
> Sägeblatt mit den Spitzen oben bei 0,5i und Maxima im
> Abstand von 1. Beide Graphen stimmen überein - nach meiner
> Meinung.
Stimmen sie auch, bei deiner muss man aber mehr überlgen - jedenfalls ich musste das.
> Ich finde meine Lösung aber besser, da sie
> "determinstischer" ist und nicht eine Auswahl aus einer
> Menge durch eine Funktion wie min benötigt. Was meinst Du?
Quark, es ist nicht deterministischer, denn es gilt zB [m]2*\min(x,y)=x+y-|x-y|[/m].
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:21 Do 21.05.2009 | | Autor: | ANTONIO |
Vielen Dank für Deine Hinweise. Deine Determination für min(x,y) ist ja spannend. Ich habe versucht damit die Identität beider Lösungen der Aufgabe herzuleiten. Ich kam bis zu folgendem Punkt, daß die X-Komponente der Lösung von Königsberger = 0,5 - |x - [x] -0,5| gegenüber meiner Lösung von |x-[x+0,5]|. Ich weiß nicht weiter, wie ich die o,5 aus "meiner" Gaußklammer herausbekommen könnte bzw. ob dies überhaupt möglich ist. Könnte man die Aufgabe im Umkehrschluß vielleicht sogar dazu verwenden eine "Determination" der Gaußklammer anzugeben?
Antonio
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:03 Do 21.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Vielen Dank für Deine Hinweise. Deine Determination für
> min(x,y) ist ja spannend.
Nur eine Umschreibung, die ich fast schon bereue, erwähnt zu haben. Was willst du mit deinem "Determinismus"? Ein Minimum zweier Zahlen ist eindeutig determiniert - da muss man nicht weiter rumeiern.
Ich habe versucht damit die
> Identität beider Lösungen der Aufgabe herzuleiten. Ich kam
> bis zu folgendem Punkt, daß die X-Komponente der Lösung von
> Königsberger = 0,5 - |x - [x] -0,5| gegenüber meiner Lösung
> von |x-[x+0,5]|.
Warum denn keine (sehr einfache!) Fallunterschiedung? Betrachte [m][x \le [x]+0.5[/m] und [m]x> [x]+0.5[/m]?
> Könnte man die Aufgabe im
> Umkehrschluß vielleicht sogar dazu verwenden eine
> "Determination" der Gaußklammer anzugeben?
Was soll das denn heißen? Die Gaußklammer ist komplett wohldefiniert. Du machst hier die Mathematik komplizierter als sie sein sollte - eine Fallunterschiedung, ein einfaches Minimum - das versteht man doch. Aber du willst umbedingt einen Formelwust, der hier echt nicht nötig ist :(
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:18 Do 21.05.2009 | | Autor: | ANTONIO |
Hallo SEcki,
Deine Antwort hat mich überrascht und beeindruckt, ich verstehe jetzt, daß es Dir genügt, wenn etwas klar logisch definiert ist. Auf der ästhetischen Ebene finde ich es schön ohne zusätzliche Symbole wie der []-Klammer auszukommen, aber das ist Geschmackssache und war hier im Matheraum vielleicht fehl am Platz. Danke für Deinen ausführlichen Input.
Grüße
Antonio
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