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| Aufgabe | 1.
Abstand einer Ebene zu einer parallelen Geraden.
Zeige, dass die Gerade g parallel ist zur Ebene E; bestimme den Abstand von g zu E
g: [mm] \vec{x}= \vektor{2 \\ -1 \\ 2} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{1 \\ 1 \\ -1 }
[/mm]
E: x-2y-z = 3
2. Gegeben ist eine Ebene E. Bestimme Gleichungen aller Ebenen, die von der Ebene E den Abstand 2 haben.
E: 6x-3y+2z = 7 |
Hallo!
Ich habe hier wiedermal ein mathematisches Problem vor dem ich stehe :-/
Ich habe 2 Aufgabenarten aufbekommen, bei denen ich leider nicht weiter komme. Ich weiss nicht mal richtig wie ich ansetzen soll :( Wäre nett wenn mir jemand anhand dieser beiden Aufgaben zeigen könnte wie man das rechner, dann könnte ich die restlichen Aufgaben selber zu ende bringen :) Ich habe einiges an Grundwissen, aber mir fehlt hier halt irgendwie der Ansatz?!
Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen. Danke schon mal an alle im Vorraus!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 So 03.12.2006 | | Autor: | J.W.5 |
Hey Mathematik2005,
zu Aufg. 1: Um die Parallelität von Gerade und Ebene zu ermitteln, musst du gucken, ob Richtungsvektor der Geraden orthogonal zum Normalenvektor ist.
Um den Abstand herauszubekommen wendest du die HNF an.
Mfg J.W.5
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Zur Aufgabe 1: Könntest du oder jemand anders mir bitte das mal anhand dieses beispieles zeigen und unter HNF verstehe ich leider nichts :( was ist das?!
Aufgabe 2 ist immer noch offen bitte helft mir! DANKE!!!
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Mathematik2005,
zu 1.
Abstand einer Ebene zu einer parallelen Geraden.
Zeige, dass die Gerade g parallel ist zur Ebene E; bestimme den Abstand von g zu E
g: $ \vec{x}= \vektor{2 \\ -1 \\ 2} $ + $ \lambda \vektor{1 \\ 1 \\ -1 } $
E: x-2y-z = 3
Parallelität
Eine einfache Möglichkeit zu testen, ob die Gerade zu der Ebene parallel ist, teste ob die Gerade die Ebene schneidet. Ist dies der Fall, liegt die Gerade entweder komplett in der Ebene (somit eigentlich auch "parallel") oder sie hat eben genau ein Schnittpunkt mit dieser (also nicht "parallel").
g: $ \vec{x}= \vektor{2 \\ -1 \\ 2} $ + $ \lambda \vektor{1 \\ 1 \\ -1 } = \vektor{2+ \lambda * 1 \\-1+\lambda * 1 \\2 + \lambda * -1$
Setze nun die 1. Zeile der Gerade in die Ebenengleichung für x ein, die 2. für y und die 3. für z.
(
Das geht hier relativ einfach da du die Ebenengleichung in der sogenannten Koordinatenform gegeben hast.
Hättest du die Ebene in der sogenannten Parameterform gegeben (also Ortsvektor (oft auch Stützvektor genannt) und 2 Richtungsvektoren mit Parametern) wäre eine einfache Lösungsmöglichkeit zu testen, ob du den Richtungsvektor der Geraden durch die Richtungsvektoren der Ebene darstellen kannst, sprich spezielle Werte für die Parameter ausrechnen kannst. Kriegst du hier keine eindeutige Lösung heraus, lässt sich die Gerade nicht durch die Richtungsvektoren der Ebene darstellen und ist somit auch nicht parallel zur Ebene
)
Aber nun zurück zu deinem Problem:
jetzt solltest du dastehen haben:
[mm]2+\lambda -2*(-1 + \lambda) - (2- \lambda) = 3[/mm]
[mm]0*\lambda = 1 [/mm]
das ist eindeutig ein Widerspruch, also gibt es keinen Schnittpunkt, d.h. du hast die Parallelität nachgewiesen.
(die anderen Möglichkeiten wären:
1. allgemeingültig ==> Gerade in Ebene oder
2. genau eine Lösung ==> das (lambda) eingesetzt in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt)
Abstand
Da die Gerade parallel zur Ebene ist, ist auch jeder Punkt dieser Geraden genau gleich weit entfernt von der Ebene, also nehme einen beliebigen Punkt der Geraden (am einfachsten, da schon vorhanden, den Aufpunkt der Geraden [mm]\vektor{2 \\ -1 \\ 2}[/mm] und berechne dessen Abstand von der Ebene mit Hilfe er Hesseschen Noramlform (HNF) (die ihr sicherlich bei den verschiedenen Ebenengleichungen im Unterricht behandelt habt aber hier trotzdem nochmal ganz kurz:
Dividiere die Koordinatenform
[mm]ax+by+cz=d[/mm] (!d muss positiv sein, ansonsten Gleichung mit -1 multiplizieren!)
[mm]ax+by+cz-d=0[/mm]
durch
[mm]\wurzel{a^2+b^2+c^2}[/mm]
also:
[mm]\bruch{ax+by+cz-d}{\wurzel{a^2+b^2+c^2}}[/mm]
Setze hier für x,y und z wie oben schon mal die Koordinaten des Aufpunktes der Geraden ein.
Dieser Bruch ist die gesuchte Entfernung (!Achtung Entfernungen sind immer >0 also sicherheitshalber Betragsstriche um den Bruch)
hier:
[mm]\left|\bruch{x-2y-z-3}{\wurzel{1^2+(-2)^2+(-1)^2}}\right|=\left|\bruch{-1}{\wurzel{6}}\right|=\bruch{1}{\wurzel{6}}[/mm]
zu 2.
Gegeben ist eine Ebene E. Bestimme Gleichungen aller Ebenen, die von der Ebene E den Abstand 2 haben.
E: 6x-3y+2z = 7
Es gibt 2 Ebenen die zu einer gegebenen Ebene einen festen Abstand haben (bildlich: eine darüber, eine darunter)
Mit Hilfe der HNF (s. Aufgabe 1) kannst du ja den Abstand berechnen, das musst du hier aber einmal mit "Betragsstrichen" und einmal ohne "Betragsstrichen" (vgl. obendrüber, untendrunter) machen.
also in deinem Fall:
[mm]\bruch{6x-3y+2z-7}{\wurzel{6^2+(-3)^2+2^2}}=2[/mm]
[mm]\bruch{6x-3y+2z-7}{7}=2[/mm]
[mm]6x-3y+2z-7=14[/mm]
[mm]6x-3y+2z=21[/mm] Gleichung der 1. Ebene!
[mm]\bruch{6x-3y+2z-7}{\wurzel{6^2+(-3)^2+2^2}}=-2[/mm]
[mm]\bruch{6x-3y+2z-7}{7}=-2[/mm]
[mm]6x-3y+2z-7=-14[/mm]
[mm]6x-3y+2z=-7[/mm] Gleichung der 2. Ebene!
So dann hoff ich mal, dass das alles so stimmt, dass du das verstanden hast (trotz umständlicher Sätze), und das ich keine Tippfehler in den Formeln habe. Trotzdem noch viel Erfolg weiterhin mit Mathe!
P.S. Solltest du weitere Fragen diesbezüglich haben stell sie lieber an die Allgemeinheit, da ich hier im Forum eher selten anzutreffen bin.
Alles Gute
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Daaanke! Wirklich wunderbar erklärt! Ich hab das alles so verstanden, vielen vielen Dank!
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