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Forum "Vektoren" - Abstand zweier Geraden

Abstand zweier Geraden < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe

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Abstand zweier Geraden: Erklärungsbedarf

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	21:47 Mi 16.12.2009
Autor:	Finbar

Aufgabe

 Berechnen Sie den Abstand der Geraden g und h.

[mm] g:\vec{x}= \vektor{5 \\ 3 \\ 1} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{1 \\ 1 \\ 1}
 [/mm]

[mm] h:\vec{x}= \vektor{1 \\ 3 \\ 4} [/mm] + [mm] \mu \vektor{2 \\ -1 \\ 0} [/mm]

Habe den Lösungsweg dieser Aufgabe vor mir liegen und konnte ihn größtenteils nachvollziehen. Mir ist trotzdem noch einiges unklar und es wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
Ich fang einfach mal an:

I. [mm] v(\vec{q}-\vec{p})=0 [/mm]
II. [mm] w(\vec{q}-\vec{p})=0 [/mm]

I.
Frage 1. (Hier frage ich mich, wieso (5/3/1) "minus" lambda?)
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}(\vektor{1 \\ 3 \\ 4} [/mm] + [mm] \mu \vektor{2 \\ -1 \\ 0}-\vektor{5 \\ 3 \\ 1} [/mm] - [mm] \lambda \vektor{1 \\ 1 \\ 1})=0 [/mm]

Frage 2. (Was ist zwischen diesen Schritten passiert? Wurde hier jetzt nur (1/3/4) minus (5/3/1) genommen? Und wenn ja wieso?)
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}(\vektor{-4 \\ 0 \\ 3} [/mm] + [mm] \mu \vektor{2 \\ -1 \\ 0}- \lambda \vektor{1 \\ 1 \\ 1})=0 [/mm]

Ok, hier mache ich einen kleinen Sprung:
Ich habe mu und lambda ausgerechnet (immer noch die gleiche Aufgabe).

[mm] \mu=\bruch{23}{14} [/mm] ; [mm] \lambda=\bruch{3}{14} [/mm]

3. Frage: (Und hier werden jetzt mu und lambda eingesetzt. Wieso ausgerechnet hier rein?)
[mm] (\vektor{-4 \\ 0 \\ 3} [/mm] + [mm] \mu \vektor{2 \\ -1 \\ 0}- \lambda \vektor{1 \\ 1 \\ 1})=0 [/mm]
4. Frage: (Heraus kommt dann dieses Zwischenergebnis. Wie muss ich rechnerisch vorgehen um auf dieses zu kommen?)

[mm] \vektor{\bruch{-13}{14} \\ \bruch{-13}{17} \\ \bruch{39}{14}} [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Bezug

Abstand zweier Geraden: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	22:03 Mi 16.12.2009
Autor:	informix

Hallo Finbar und [willkommenmr]

,

> Berechnen Sie den Abstand der Geraden g und h.
>
> [mm]g:\vec{x}= \vektor{5 \\ 3 \\ 1}+\lambda \vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]h:\vec{x}= \vektor{1 \\ 3 \\ 4}+\mu \vektor{2 \\ -1 \\ 0}[/mm]
>
> Habe den Lösungsweg dieser Aufgabe vor mir liegen und
> konnte ihn größtenteils nachvollziehen. Mir ist trotzdem
> noch einiges unklar und es wäre nett wenn mir jemand
> helfen könnte.
>  Ich fang einfach mal an:
>
> I.  [mm]v(\vec{q}-\vec{p})=0[/mm]
>  II. [mm]w(\vec{q}-\vec{p})=0[/mm]
>
> I.
> Frage 1. (Hier frage ich mich, wieso (5/3/1) "minus"
> lambda?)
>  [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}(\vektor{1 \\ 3 \\ 4}+\mu \vektor{2 \\ -1 \\ 0}-\vektor{5 \\ 3 \\ 1}-\lambda \vektor{1 \\ 1 \\ 1})=0[/mm]

[mm] \gdw[/mm]  [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}(\left[\vektor{1 \\ 3 \\ 4}+\mu \vektor{2 \\ -1 \\ 0}\right]-\left[\vektor{5 \\ 3 \\ 1}+\lambda \vektor{1 \\ 1 \\ 1}\right])=0[/mm]
Es wurde genau nach obiger Regel verfahren: Vektor [mm] \vec{p} [/mm] wurde von  [mm] \vec{q} [/mm] subtrahiert.
>
> Frage 2. (Was ist zwischen diesen Schritten passiert? Wurde
> hier jetzt nur (1/3/4) minus (5/3/1) genommen? Und wenn ja
> wieso?)

Man fasst solche Vektoren zusammen, wenn möglich.

>  [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}(\vektor{-4 \\ 0 \\ 3}[/mm] + [mm]\mu \vektor{2 \\ -1 \\ 0}- \lambda \vektor{1 \\ 1 \\ 1})=0[/mm]
>
>
> Ok, hier mache ich einen kleinen Sprung:
>  Ich habe mu und lambda ausgerechnet (immer noch die
> gleiche Aufgabe).
>
> [mm]\mu=\bruch{23}{14}[/mm] ; [mm]\lambda=\bruch{3}{14}[/mm]
>
> 3. Frage: (Und hier werden jetzt mu und lambda eingesetzt.
> Wieso ausgerechnet hier rein?)
>  [mm](\vektor{-4 \\ 0 \\ 3}[/mm] + [mm]\mu \vektor{2 \\ -1 \\ 0}- \lambda \vektor{1 \\ 1 \\ 1})=0[/mm]

Fehlt hier vielleicht der Vektor [mm] \vektor{1\\1\\1}, [/mm] um zur Probe das Skalarprodukt auszurechnen?
>
> 4. Frage: (Heraus kommt dann dieses Zwischenergebnis. Wie
> muss ich rechnerisch vorgehen um auf dieses zu kommen?)
>
> [mm]\vektor{\bruch{-13}{14} \\ \bruch{-13}{17} \\ \bruch{39}{14}}[/mm]

keine Ahnung - meine Glaskugel ist gerade nicht zur Hand, und über so weite Entfernungen kann ich keine Musterlösungen lesen. ;-)