Abstand zweier Flugzeuge < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 Fr 17.11.2006 | | Autor: | yildi |
| Aufgabe | ein flugzeug A fliegt von der position P1(6/-2/2) nach P2(-2/2/2). ein flugzeug B fliegt von Q1(2/3/1) nach Q2(-0,4/4/2,8).
a) bestimmen sie die kürzeste entfernung der beiden flugrouten
b) flugzeug A befindet sich zum selben zeitpunkt an position P1 wie flugzeug B an position Q1. ihre geschwindigkeiten sind gleich. wie nah kommen sich die beiden flugzeuge, wenn sie ihren kurs beibehalten ? |
moin moin!
die teilaufgabe a) konnte ich lösen. ich hab einfach die beiden parameterformen der geraden gebildet und dann die abstandsformel zweier windschiefer geradeb benutzt. als ergebnis hab ich dann 4,794.
nur nun in aufgabe b) weiss ich irgendwie nicht wie das geht :C
kann mir jemand helfen ?
vielen dank,
yildi
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Hi, yildi,
> ein flugzeug A fliegt von der position P1(6/-2/2) nach
> P2(-2/2/2). ein flugzeug B fliegt von Q1(2/3/1) nach Q2(-0,4/4/2,8).
>
> a) bestimmen sie die kürzeste entfernung der beiden flugrouten
>
> b) flugzeug A befindet sich zum selben zeitpunkt an position P1 wie flugzeug
> B an position Q1. ihre geschwindigkeiten sind gleich.
> wie nah kommen sich die beiden flugzeuge, wenn sie ihren kurs beibehalten ?
>
> die teilaufgabe a) konnte ich lösen. ich hab einfach die
> beiden parameterformen der geraden gebildet und dann die
> abstandsformel zweier windschiefer geraden benutzt. als
> ergebnis hab ich dann 4,794.
Den Abstand hab' ich nicht nachgerechnet, aber die Methode stimmt!
> nur nun in aufgabe b) weiss ich irgendwie nicht wie das geht :C
Bei b) ist es zunächst mal so dass Du die Richtungsvektoren auf gleiche Länge bringen musst. Dann kannst Du für beide Geraden denselben Parameter verwenden, da die Flugzeuge in gleichen Zeiträumen gleiche Weglängen zurücklegen.
Hier nun ist nicht der Abstand der Geraden gesucht, sondern die Entfernung der jeweiligen Punkte P und Q, die auf übliche Art angesetzt wird: Differenz der Koordinaten; quadrieren, addieren Wurzel ziehen.
Dann ist derjenige Parameter zu ermitteln, für den dieser Ausdruck minimal wird.
Versuch's mal!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 Fr 17.11.2006 | | Autor: | yildi |
Hi!
Schonmal vielen Dank für die Hilfe.
Ich habe nun die Richtungsvektoren normiert.
Nun hab ihc mir überlegt, dass ich irgendeine Funktion eben ableiten muss, um das Minimum zu finden. Nur welche Funktion eben..das ist mir noch unklar. Ich habe ja durch die normierung zwar nur noch eine unbekannte Variable in beiden Geradengleichungen... die muss ich wohl ausrechnen. Nur eben irgendwie die Gleichung aufzustellen ist mein Problem :C
Vielleicht hat ja nochma eben jemand Lust mal kurz zu gucken :)
Danke!
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Hi, yildi,
das mit der Ableitung stimmt nur bedingt:
Freilich kannst Du's so machen, aber da Du in der Wurzel auf jeden Fall einen quadratischen Term im Parameter (sagen wir: [mm] \lambda) [/mm] bekommst, noch dazu mit positivem Vorzeichen bei [mm] \lambda^{2}, [/mm] handelt es sich beim Radikanden anschaulich gesagt um eine nach oben geöffnete Parabel, deren Minimum der Scheitel ist. Es reicht daher, diesen Scheitel zu finden; für das zugehörige [mm] \lambda [/mm] hat die Entfernung der Punkte ihr Minimum.
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Fr 17.11.2006 | | Autor: | yildi |
hmm ja... nur wie gesagt weiss ich ja nicht, wie ich diese Funktion, aus der ich das Lambda bestimmen soll, aufstelle
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Hi, yildi,
wie ermittelt man die Entfernung zweier Punkte?
Mit der Formel:
d = [mm] \wurzel{(x_{Q}-x_{P})^{2} + (y_{Q}-y_{P})^{2} + (z_{Q}-z_{P})^{2}}
[/mm]
Und Deine Punkte liegen auf Geraden, haben also Koordinaten ähnlich folgender:
[mm] R(2+\lambda/ 3-2\lambda/1+3\lambda)
[/mm]
Da bei Dir nun beide Punkte denselben Parameter aufweisen, wird in der obigen Wurzel eben auch nur ein Term in 1 Variablen stehen.
Jetzt klar?
mfG!
Zwerglein
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