Abstand zur x-achse < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Wie kann ich den Abstand von
Oxg1 = (-1 0 1) + t(1 1 1)
zur x-Achse bestimmen?
Meine Überlegung ich nehme den Basisvektor e=(1 0 0)
und setze ihn in die Abstandsformel
d= [mm] \bruch{ \left| A1 x (r2 - r1 ) \right| }{ \left| A1 \right| }
[/mm]
ein. Leider stimmt mein Ergebnis nicht.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 Sa 02.12.2006 | | Autor: | chrong7 |
ich bin mir bei der interpretation der von dir angegebenen formel nicht ganz sicher (was die variablen genau bedeuten), aber ich vermute, der grund dafuer, dass es nicht funktioniert, ist, dass e1=(1 0 0) nur ein punkt auf der x-achse ist, und nicht die ganze x-achse (e1 definiert nur die richtung der x-achse).
der abstand zweier gerader wird durch den minimalen abstand zweier punkte auf diesen geraden definiert; und dieses minimum muss nicht unbedingt den punkt (1 0 0) beinhalten.
man kann sich das so vorstellen: nimmt man irgendeinen punkt auf der ersten geraden, irgendeinen punkt auf der zweiten geraden, dann kann man den abstand dieser zwei punkte ermitteln. der abstand haengt aber davon ab, welche punkte man sich aussucht. die aufgabe besteht jetzt also darin, den minimalen abstand zu finden, der sich fuer zwei punkte ergeben kann (die punkte selbst zu finden ist dann nochmal eine zusatzaufgabe).
wir ermitteln also den minimalen abstand folgender gerader (die x-achse selbst kann man ja auch als gerade interpretieren):
g: [mm] \vektor{ x\\y\\z} [/mm] = [mm] \vektor{-1\\0\\1} [/mm] + t [mm] \vektor{1\\1\\1}
[/mm]
h: [mm] \vektor{ x\\y\\z} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\0} [/mm] + s [mm] \vektor{1\\0\\0}
[/mm]
die beiden richtungsvektoren dieser geraden spannen eine ebene auf; wir legen diese ebene so, dass eine der beiden geraden - sagen wir h - vollstaendig darin enthalten ist. diese ebene hat dann folgende gleichung:
[mm] \varepsilon: \vektor{ x\\y\\z} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\0} [/mm] + t [mm] \vektor{1\\1\\1}+ [/mm] s [mm] \vektor{1\\0\\0}
[/mm]
(der vektor (0 0 0) am beginn ergibt sich aus der bedingung, dass die gerade h in der ebene enthalten sein soll - man koennte statt (0 0 0) irgendeinen punkt auf h nehmen)
folgende beobachtung ist entscheidend fuer dieses beispiel: die gerade g verlaeuft parallel zur ebene [mm] \varepsilon [/mm] (weil der richtungsvektor von g gleich einem der richtungsvektoren der ebene ist). das hat zur folge, dass jeder punkt auf g den gleichen abstand (genau genommen: den gleich senkrechten abstand) zur ebene [mm] \varepsilon [/mm] hat. dieser abstand ist gleichzeitig der minimale abstand der geraden g und h. (stell dir vor, du laeufst auf der geraden g entlang ueber die ebene [mm] \varepsilon, [/mm] bis unter dir genau die gerade h durchgeht: das ist dann der minimale abstand von g und h, und das entspricht dem abstand zwischen g und [mm] \varepsilon).
[/mm]
so weit, so gut; jetzt gibt es verschiedene moeglichkeiten, um den abstand von g und [mm] \varepsilon [/mm] zu berechnen. wie gesagt, jeder punkt auf g hat von [mm] \varepsilon [/mm] den gleichen abstand; wir koennen uns also irgendeinen punkt, sagen wir [mm] \vektor{-1\\0\\1}, [/mm] auf g aussuchen, und den abstand dieses punktes zu [mm] \varepsilon [/mm] berechnen.
moeglichkeit 1: man kennt eine formel, die den abstand zwischen punkt und ebene berechnet (ich weiss, dass es so etwas gibt, hab's aber vergessen, wie das geht)
moeglichkeit 2:
- man berechnet den normalvektor der ebene (zum beispiel mit hilfe des vektorprodukts): n = [mm] \vektor{0\\1\\-1}
[/mm]
- man legt eine gerade durch den punkt [mm] \vektor{-1\\0\\1} [/mm] auf g mit richtungsvektor n:
l: [mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm] = [mm] \vektor{-1\\0\\1} [/mm] + v [mm] \vektor{0\\1\\-1}
[/mm]
- man berechnet den schnittpunkt dieser geraden mit [mm] \varepsilon [/mm] (das ist eine ziemliche rechnerei...)
- man bestimmt den abstand des schnittpunkts zum punkt [mm] \vektor{-1\\0\\1}
[/mm]
kurzzusammenfassung:
was man letztlich tun muss, ist folgendes: man bestimme den abstand des punktes [mm] \vektor{-1\\0\\1} [/mm] von der ebene, die durch die beiden vektoren [mm] \vektor{1\\1\\1} [/mm] und [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] aufgespannt wird und durch den punkt [mm] \vektor{0\\0\\0} [/mm] geht.
schulbuecher und dgl. druecken sich leider selten so praezise aus...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Sa 02.12.2006 | | Autor: | chrisno |
Du hast die Formel für den Abstand zweier paraller Geraden verwendet. Die sind aber nicht parallel. Für den Abstand zweier windschdschiefer Geraden gilt:
$d = [mm] \bruch{|\vec{a_1}\vec{a_2}(\vec{r_1}-\vec{r_2})|}{|\vec{a_1}\times\vec{a_2}|}$
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:33 Sa 02.12.2006 | | Autor: | riwe |
da fehlen im nenner die betragsstricherl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:38 Sa 02.12.2006 | | Autor: | chrisno |
nun hoffentlich nicht mehr
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:49 Sa 02.12.2006 | | Autor: | riwe |
ich kann sie auf jeden fall jetzt sehen!
|
|
|
|
