Abstand zu gesch. Parametern < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 Fr 13.04.2012 | | Autor: | NUT |
| Aufgabe | Hallo,
folgendes Problem:
Wir haben das klassische multiple lineare Regressionsmodell (Matrizenschreibweise):
Y = X [mm] \beta [/mm] + e ,
wobei [mm] e\sim N(0,\sigma^2)
[/mm]
Jetzt betrachten wir die Eigenschaft des Abstandes zwischen der Schätzung (Kleinste Quadrate) und den unbekannten Parametern:
[mm] L:=(\widehat{\beta}-\beta)
[/mm]
Es gilt: [mm] E(L^2)=\sigma^2Spur( [/mm] X'X [mm] )^{-1}, [/mm] wobei [mm] L^2=(\widehat{\beta}-\beta)'(\widehat{\beta}-\beta) [/mm] ist. |
Mir ist nicht klar bzw. ich schaffe es nicht den Erwartungswert des quadratischen Abstandes herzuleiten. Meines Achtens ist dies die Varianz von [mm] \widehat{\beta} [/mm] und ich komme immer (auch in der Literatur zu finden) auf [mm] V(\beta)=\sigma( [/mm] X'X [mm] )^{-1}. [/mm] Der Faktor mit der Spur der Inversen erschließ sich mir überhaupt nicht.
Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen und bedanke mich jetzt schonmal über jeden Hinweis!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:30 So 15.04.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
es gilt [mm] $L^2=(\hat\beta_1-\beta_1)^2+\dots+(\hat\beta_p-\beta_p)^2$, [/mm] also
[mm] $\operatorname{E}[L^2]=\operatorname{E}[(\hat\beta_1-\beta_1)^2]+\dots+\operatorname{E}[(\hat\beta_p-\beta_p)^2]=\operatorname{Var}[\hat\beta_1]+\dots+\operatorname{Var}[\hat\beta_p]=\sigma^2\operatorname{Spur}(X'X)^{-1}$.
[/mm]
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:16 So 15.04.2012 | | Autor: | NUT |
Vielen Dank!
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