Abstand windschiefer Geraden < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien
[mm] G_1: \quad a_1+th_1, \qquad G_2:\quad a_2+sh_2, \qquad a_1,a_2,h_1,h_2 \in\IR
[/mm]
zwei windschiefe Geraden (d.h. [mm] h_1, h_2 [/mm] sind nicht parallel). Zeigen Sie, dass der minimale Abstand der beiden Geraden durch
[mm] d:=\bruch{\left\langle a_1 - a_2, h_1 \times h_2 \right\rangle}{\parallel h_1 \times h_2 \parallel}
[/mm]
gegeben ist. |
Hallo zusammen,
ich weiß wirklich nicht wie ich diese Aufgabe im Sinne des Erfinders lösen soll. Das Ganze ist eingebettet zwischen den Themen Variationsprobleme und lokale Extrema. Ich habe zwar einen Ansatz, aber dort berechne ich den Abstand durch die orthogonale Projektion des Verbindungsvektors der Stützpunkte auf den Normalenvektor:
[mm] d(G_1,G_2)= |(\vec a_1 [/mm] - [mm] \vec a_2)*\vec n_0|, [/mm]
mit [mm] \vec n_0 =\bruch{ h_1 \times h_2}{\parallel h_1 \times h_2 \parallel}
[/mm]
Ich komme damit zwar auf die gesuchte Lösung, aber auf einem wohl gemogelten Weg.
Ich glaube ich muss hier ein Minimierungsproblem lösen, dessen Ansatz ich nicht finde. Wie gehe ich an obiges Problem an?
Bin über Tipps und/oder Ideen seehr erfreut!
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Hallo gaylussac0815,
> Seien
>
> [mm]G_1: \quad a_1+th_1, \qquad G_2:\quad a_2+sh_2, \qquad a_1,a_2,h_1,h_2 \in\IR[/mm]
>
> zwei windschiefe Geraden (d.h. [mm]h_1, h_2[/mm] sind nicht
> parallel). Zeigen Sie, dass der minimale Abstand der beiden
> Geraden durch
>
> [mm]d:=\bruch{\left\langle a_1 - a_2, h_1 \times h_2 \right\rangle}{\parallel h_1 \times h_2 \parallel}[/mm]
>
> gegeben ist.
> Hallo zusammen,
>
> ich weiß wirklich nicht wie ich diese Aufgabe im Sinne des
> Erfinders lösen soll. Das Ganze ist eingebettet zwischen
> den Themen Variationsprobleme und lokale Extrema. Ich habe
> zwar einen Ansatz, aber dort berechne ich den Abstand durch
> die orthogonale Projektion des Verbindungsvektors der
> Stützpunkte auf den Normalenvektor:
>
> [mm]d(G_1,G_2)= |(\vec a_1[/mm] - [mm]\vec a_2)*\vec n_0|,[/mm]
>
> mit [mm] \vec n_0 =\bruch{ h_1 \times h_2}{\parallel h_1 \times h_2 \parallel}[/mm]
>
> Ich komme damit zwar auf die gesuchte Lösung, aber auf
> einem wohl gemogelten Weg.
> Ich glaube ich muss hier ein Minimierungsproblem lösen,
> dessen Ansatz ich nicht finde. Wie gehe ich an obiges
> Problem an?
>
Minimiere die Funktion
[mm][/mm]
,wobei <*,*> das Skalarprodukt ist.
> Bin über Tipps und/oder Ideen seehr erfreut!
Gruss
MathePower
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Warum nehme hier ich das Quadrat der Differenz der beiden Geraden? Intuitiv würde ich doch nur die Differenz minimieren...
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Hallo gaylussac0815,
> Warum nehme hier ich das Quadrat der Differenz der beiden
> Geraden? Intuitiv würde ich doch nur die Differenz
> minimieren...
>
Zu Minimieren ist die Abstandsfunktion,
die sich durch die Differenz der beiden Geraden ergibt.
Um ein Maß für den Abstand zu erhalten,
wird die Wurzel aus dem Skalarprodukt dieser Differenz
mit sich selbst betrachtet.
Da der Wurzelausdruck nicht so einfach handhabbar ist,
wird nur das Skalarprodukt betrachtet, wobei dieses Extremum
auch das Extremum des Wurzelausdrucks ist.
Gruss
MathePower
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Sehe ich es richtig, dass ich hier keine Nebenbedingungen habe?
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Hallo gaylussac0815,
> Sehe ich es richtig, dass ich hier keine Nebenbedingungen
> habe?
Ja, das ist richtig.
Gruss
MathePower
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Irgendwie steh ich immernoch aufm Schlauch...
Wie minimiere ich denn diese Abstandsfunktion?
Ich hab nun die Nullstellen bzw Extremwerte dieser Funktion gesucht, aber bei weitem die angegebene Lösung verfehlt. Irgendwelche Tipps oder Anregungen? Wäre wirklch sehr dankbar!
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Hallo gaylussac0815,
> Irgendwie steh ich immernoch aufm Schlauch...
>
> Wie minimiere ich denn diese Abstandsfunktion?
> Ich hab nun die Nullstellen bzw Extremwerte dieser Funktion
> gesucht, aber bei weitem die angegebene Lösung verfehlt.
> Irgendwelche Tipps oder Anregungen? Wäre wirklch sehr
> dankbar!
Setze die Ableitungen der Abstandsfunktion nach s und t gleich Null.
Dann erhältst Du ein lineares Gleichungssystem.
Gruss
MathePower
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-.-*
Danke! Hab genau das sinnlose gegenteil gemacht......
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Kann es nicht sein, dass ich mehr als 2 Gleichungen brauche? Das Gleichungssystem lässt sich nicht auflösen.
Angenommen ich erhalte Ausdrücke für t und s, kommen die dann einfach in die Abstandsfunktion und es entsteht die Lösung dieser Aufgabe?
Ich habe momentan auch keinen Schimmer woher die Norm in dem Ausdruck kommen soll, geschweige denn das Kreuzprodukt...
Bis jetzt habe ich die oben genannte Abstandsfunktion partiell nach s und t abgeleitet und versucht eine lösung des Gl.Systems zu finden. Ich weiß momentan echt nicht wohin die Reise gehen soll...
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Hallo gaylussac0815,
> Kann es nicht sein, dass ich mehr als 2 Gleichungen
> brauche? Das Gleichungssystem lässt sich nicht auflösen.
>
> Angenommen ich erhalte Ausdrücke für t und s, kommen die
> dann einfach in die Abstandsfunktion und es entsteht die
> Lösung dieser Aufgabe?
>
Die entsehenden Ausdrücke musst Du noch in anderer Form schreiben.
> Ich habe momentan auch keinen Schimmer woher die Norm in
> dem Ausdruck kommen soll, geschweige denn das
> Kreuzprodukt...
>
Der Ausdruck im Nenner ist dann die Wurzel der Determinante.
Die Determinante wiederum läßt sich als Kreuzprodukt schreiben.
> Bis jetzt habe ich die oben genannte Abstandsfunktion
> partiell nach s und t abgeleitet und versucht eine lösung
> des Gl.Systems zu finden. Ich weiß momentan echt nicht
> wohin die Reise gehen soll...
Poste doch zunächst Deine bisherigen Rechenschritte.
Gruss
MathePower
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Also nun folgen meine bisherigen Rechenschritte:
Zunächst das Skalarprodukt der Differenz der beiden Geraden mit sich selbst,(Vektoren sind nicht als solche gekennzeichnet):
[mm] \left\langle G_1-G_2,G_1-G_2 \right\rangle [/mm] = [mm] (a_1+th_1)^2-2(a_1+th_1)(a_2+sh_2)+(a_2+sh_2)^2
[/mm]
Nun das Gleichungssystem zu den Nullstellen der partiellen Ableitungen nach den Parametern t und s:
[mm] \vektor{ \bruch{\partial \left\langle G_1-G_2,G_1-G_2 \right\rangle}{\partial\,t} \\ \bruch{\partial \left\langle G_1-G_2,G_1-G_2 \right\rangle}{\partial\,s} } =\vektor{ 2a_1h_1+2th_1^2-2a_2h_1-2sh_1h_2 \\ 2a_2h_2+2sh_2^2-2a_1h_2-2th_1h_2} [/mm] = [mm] \vektor{ 0 \\ 0}
[/mm]
Forme ich die erste Gleichung nach t um erhalte ich
[mm] t=\bruch{a_2+sh_2-a_1}{h_1}
[/mm]
Setze ich dies in die 2. Gleichung ein erhalte ich 0=0
Wo ist nun mein Fehler? Was beachte ich nicht?
Bin über Hilfen sehr dankbar!
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Hallo gaylussac0815,
> Also nun folgen meine bisherigen Rechenschritte:
>
> Zunächst das Skalarprodukt der Differenz der beiden
> Geraden mit sich selbst,(Vektoren sind nicht als solche
> gekennzeichnet):
>
> [mm]\left\langle G_1-G_2,G_1-G_2 \right\rangle[/mm] =
> [mm](a_1+th_1)^2-2(a_1+th_1)(a_2+sh_2)+(a_2+sh_2)^2[/mm]
>
Bedenke, daß es sich bei [mm]a_{1},h_{1},a_{2},h_{2}[/mm] um Vektoren handelt:
[mm][/mm]
> Nun das Gleichungssystem zu den Nullstellen der partiellen
> Ableitungen nach den Parametern t und s:
>
> [mm]\vektor{ \bruch{\partial \left\langle G_1-G_2,G_1-G_2 \right\rangle}{\partial\,t} \\ \bruch{\partial \left\langle G_1-G_2,G_1-G_2 \right\rangle}{\partial\,s} } =\vektor{ 2a_1h_1+2th_1^2-2a_2h_1-2sh_1h_2 \\ 2a_2h_2+2sh_2^2-2a_1h_2-2th_1h_2}[/mm]
> = [mm]\vektor{ 0 \\ 0}[/mm]
>
> Forme ich die erste Gleichung nach t um erhalte ich
>
> [mm]t=\bruch{a_2+sh_2-a_1}{h_1}[/mm]
>
Die korrekte Auflösung nach t lautet:
[mm]t=\bruch{}{}[/mm]
> Setze ich dies in die 2. Gleichung ein erhalte ich 0=0
>
>
> Wo ist nun mein Fehler? Was beachte ich nicht?
>
> Bin über Hilfen sehr dankbar!
>
Gruss
MathePower
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Nachdem ich das ganze mit der Norm anstelle des Skalarpodukts der Differenzen probiert hab, leuchtet es mir ein weshalb nur der Radikand minimiert werden muss. Nun ein eigener Lösungsvorschlag, dessen Richtigkeit hier erfragt werden soll:
[...]
$ [mm] \vektor{ \bruch{\partial \left\langle G_1-G_2,G_1-G_2 \right\rangle}{\partial\,t} \\ \bruch{\partial \left\langle G_1-G_2,G_1-G_2 \right\rangle}{\partial\,s} } =\vektor{ 2a_1h_1+2th_1^2-2a_2h_1-2sh_1h_2 \\ 2a_2h_2+2sh_2^2-2a_1h_2-2th_1h_2} [/mm] $
[mm] \gdw \vektor{ \\
[mm] \Rightarrow h_1 \perp a_1+th_1-a_2-sh_2 \perp h_2
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda*(h_1\times h_2) [/mm] = [mm] a_1+th_1-a_2-sh_2
[/mm]
Normierung des Kreuzproduktes auf 1 mit [mm] \lambda:= \bruch{d}{||h_1 \times h_2||}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{d*(h_1 \times h_2)}{||h_1 \times h_2||}=(a_1+th_1-a_2-sh_2))
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{d*(h_1 \times h_2)^2}{||h_1 \times h_2||}=(a_1+th_1-a_2-sh_2)*(h_1\times h_2)
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] d= [mm] \bruch{}{||(h_1\times h_2)||}
[/mm]
Was sagt ihr/sagst du zu dieser Geburt? Ich bin mir nicht sicher ob das mit dem lambda so ohne weiteres erlaubt ist!
Danke für die Hilfen!
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Hallo gaylussac0815,
> Nachdem ich das ganze mit der Norm anstelle des
> Skalarpodukts der Differenzen probiert hab, leuchtet es mir
> ein weshalb nur der Radikand minimiert werden muss. Nun ein
> eigener Lösungsvorschlag, dessen Richtigkeit hier erfragt
> werden soll:
>
> [...]
>
> [mm]\vektor{ \bruch{\partial \left\langle G_1-G_2,G_1-G_2 \right\rangle}{\partial\,t} \\ \bruch{\partial \left\langle G_1-G_2,G_1-G_2 \right\rangle}{\partial\,s} } =\vektor{ 2a_1h_1+2th_1^2-2a_2h_1-2sh_1h_2 \\ 2a_2h_2+2sh_2^2-2a_1h_2-2th_1h_2}[/mm]
>
> [mm]\gdw \vektor{ \\
>
> [mm]\Rightarrow h_1 \perp a_1+th_1-a_2-sh_2 \perp h_2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \lambda*(h_1\times h_2)[/mm] = [mm]a_1+th_1-a_2-sh_2[/mm]
>
> Normierung des Kreuzproduktes auf 1 mit [mm]\lambda:= \bruch{d}{||h_1 \times h_2||}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{d*(h_1 \times h_2)}{||h_1 \times h_2||}=(a_1+th_1-a_2-sh_2))[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{d*(h_1 \times h_2)^2}{||h_1 \times h_2||}=(a_1+th_1-a_2-sh_2)*(h_1\times h_2)[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] d= [mm]\bruch{}{||(h_1\times h_2)||}[/mm]
>
> Was sagt ihr/sagst du zu dieser Geburt? Ich bin mir nicht
> sicher ob das mit dem lambda so ohne weiteres erlaubt ist!
Das ist mir etwas zu suspekt.
Bestimme doch die Ebene die durch [mm]a_{2}[/mm]
und den Normalenvektor [mm]h_{1} \times h_{2}[/mm] hat.
Bilde dann die Gerade durch [mm]a_{1}[/mm] mit
diesem Normalenvektor als Richtungsvektor.
Schneide dann Ebene und Gerade.
> Danke für die Hilfen!
Gruss
MathePower
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