Abstand windschiefer Geraden < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 Mo 25.10.2004 | | Autor: | Kruemel |
Hallo zusammen,
habe das selbe Problem wie Vitaminless, kann nämlich nicht den Abstand windschiefer Geraden errechnen!
Meine Aufgabe lautet:
g:x= [mm] \vektor{-1 \ +2 \ -3} [/mm] + r [mm] \vektor{+1 \ +0 \ -1}
[/mm]
h:x= [mm] \vektor{+3 \ +4 \ -2} [/mm] + s [mm] \vektor{+1 \ +2 \ +0}
[/mm]
1. Ebene aufstellen:
E1:x= [mm] \vektor{-1 \ +2 \ -3} [/mm] + r [mm] \vektor{+1 \ +0 \ -1} [/mm] + s [mm] \vektor{+1 \ +2 \ +0}
[/mm]
2. bestimmung von [mm] \vec{n}:
[/mm]
vektorprodukt: [mm] \vec{n}= \vektor{+2 \ -1 \ +2}
[/mm]
3.Schnittpunkt Lh von E1 mit h:
Normalenfrom der E1:x= [mm] \vektor{+2 \ -1 \ +2} [/mm] * x +10
h einsetzen: [mm] \vektor{+2 \ -1\ +2} [/mm] * [ [mm] \vektor{+3\ +4 \ -2}*s \vektor{+1\ +2 \ 0}]+10
[/mm]
daraus ergibt sich: -2 + 0s +10= 0
somit ist s nicht bestimmbar!
Wo liegt der Fehler, und wie muss ich weiter vorgehen?
Vielen Dank im Vorraus
Lg Krümel
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Courage is the ability to make a leap beyond the familiar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Mo 25.10.2004 | | Autor: | Pirmin |
Hallo Kruemel,
vielleicht hilft dir dieser ansatz:
1) Bestimme die Normalengleichung einer Ebene E; welche g enthält und parallel zu h ist (den Normalenvektoir hast du ja schon)
2) Beachte dann für den Abstand:
d(h,g) = d(h,E) = d(A,E) wobei A ein Punkt auf h ist.
Liebe Grüsse
Pirmin
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Hallo Krümel!
Den Abstand zwischen 2 windschiefen Geraden:
[mm]\vec{x}=\vec{p}+r\vec{u}[/mm]
[mm]\vec{x}=\vec{q}+s\vec{v}[/mm]
kannst du so berechnen:
[mm]d=\left|(\vec{p}-\vec{q})*\bruch{(\vec{u}\times\vec{v})}{|\vec{u}\times\vec{v}|}\right|[/mm]
Das ist die Projektion eines beliebigen Vektors, der die zwei Geraden verbindet, auf der Richtung der gemeinsamen Normalen.
Schöne Grüße, 
Ladis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Di 26.10.2004 | | Autor: | Kruemel |
Hallo ladislauradu, habe dank deiner Formel den Abstand berechnet, aber es tut sich bei mir noch eine Frage auf:
[mm] \bruch{\vec{u} \times \vec{v}}{ |\vec{u} \times \vec{v}|}
[/mm]
Das heißt doch, dass der Nenner (oben) aus dem Skalarprodukt entsteht (oder wird einfach nur multipliziert?) und der Zähler (unten) die Länge ist!
Vielen Dank schon mal, lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:55 Mi 27.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Kruemel,
neue Frage = neue Diskussion!
> Hallo ladislauradu, habe dank deiner Formel den Abstand
> berechnet, aber es tut sich bei mir noch eine Frage auf:
> [mm]\bruch{\vec{u} \times \vec{v}}{ |\vec{u} \times \vec{v}|}[/mm]
>
>
> Das heißt doch, dass der Nenner (oben) aus dem
> Skalarprodukt entsteht (oder wird einfach nur
> multipliziert?) und der Zähler (unten) die Länge ist!
So ähnlich, mit [mm] $\times$ [/mm] ist das Vektorprodukt zweier Vektoren gemeint, und nicht das Skalarprodukt!
Der Vektor [mm] $\vec{u}\times \vec{v}$ [/mm] ist nämlich ein Vektor, der auf [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{v} [/mm] senkrecht steht; im Kontext der Aufgabenstellung ist [mm] $\vec{u}\times \vec{v}$ [/mm] also die Richtung des Lots von der einen Geraden senkrecht auf die andere Gerade.
Wenn du das Vektorprodukt nicht kennst (was nicht unwahrscheinlich ist): Vergiß' diese Formel wieder, und berechne den Abstand zu Fuß, wie hier im Thread oder in anderen Threads vorgestellt.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 Mi 27.10.2004 | | Autor: | Kruemel |
Hallo Marc,
ich kenne das Vektorprodukt, dachte nur dass es ziwschen Skalar- und Vektorprodukt keinen Unterschied gibt, aber wahrscheinlich war das dumm von mir!
[mm]\bruch{\vec{u} \times \vec{v}}{ |\vec{u} \times \vec{v}|}[/mm]
Jetzt habe ich nur das Problem, dass ich oben einen Normalenvektor ausgerechnet habe und unten eine Zahl steht, weil ja die Länge gefragt ist!
Das würde dann so aussehen:
[mm] \bruch{ \vektor{+2 \-1\ +2}}{3}
[/mm]
und das ganze muss noch mit [mm] \vektor{-4 \-2\ -1} [/mm] multipliziert werden!
Kann ich denn einen Vektor durch eine Zahl teilen?
Lg Kruemel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:18 Do 28.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo kruemel,
> Hallo Marc,
>
> ich kenne das Vektorprodukt, dachte nur dass es ziwschen
> Skalar- und Vektorprodukt keinen Unterschied gibt, aber
> wahrscheinlich war das dumm von mir!
> [mm]\bruch{\vec{u} \times \vec{v}}{ |\vec{u} \times \vec{v}|}[/mm]
>
>
> Jetzt habe ich nur das Problem, dass ich oben einen
> Normalenvektor ausgerechnet habe und unten eine Zahl steht,
> weil ja die Länge gefragt ist!
> Das würde dann so aussehen:
> [mm]\bruch{ \vektor{+2 \-1\ +2}}{3}
[/mm]
> und das ganze muss noch
> mit [mm]\vektor{-4 \-2\ -1}[/mm] multipliziert werden!
> Kann ich denn einen Vektor durch eine Zahl teilen?
Die Zahlenwerte von [mm] $\vec{u} \times \vec{v}$ [/mm] habe ich jetzt nicht nachgerechet, trotzdem kann ich dir aber auf diese Teilfrage antworten.
Natürlich kann man einen Vektor durch eine Zahl dividieren, weil man eine Division ja auf eine Multiplikation zurückführen kann:
[mm]\bruch{\vec{u} \times \vec{v}}{ |\vec{u} \times \vec{v}|}=\bruch{1}{ |\vec{u} \times \vec{v}|}*\vec{u} \times \vec{v}[/mm]
Und die Multiplikation ist ja komponentenweise erklärt:
[mm] $\bruch{ (+2, -1, +2) }{3}=\bruch{ 1 }{3}*(+2, [/mm] -1, [mm] +2)=\left(+\bruch{2}{3},-\bruch{1}{3},\bruch{2}{3}\right)$
[/mm]
Wie du siehst, wirkt sich die Division durch eine Zahl ebenfalls komponentenweise aus.
Viele Grüße,
Marc
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