Abstand von 3 Vektoren im R³ < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
tach allerseits!
folgendes:
wir haben die vektoren [mm] \overrightarrow{v1}, \overrightarrow{v2} [/mm] und [mm] \overrightarrow{v3}, [/mm] jeweils der Form
[mm] \vektor{x1 \\ y1 \\ z1} [/mm] + r1 * [mm] \vektor{a1 \\ b1 \\ c1} [/mm] , die anderen Vektoren entsprechend.
Die drei Vektoren sind NICHT parallel, allerdings schneiden sich keine der drei Vektoren irgendwie!
bis auf r1, r2 und r3 ist alles gegeben. Gesucht ist nun der Punkt P, der zu diesen drei Vektoren den minimalen, rechtwinkligen und gleichen (vor allem!) Abstand hat. Aufmerksame Nutzer haben sicherlich bemerkt, daß ich gestern die gleiche Frage mit 2 Vektoren gestellt habe. Das hat - nicht zuletzt durch die prompte Hilfe hier - wunderbar geklappt. Bei 3 Vektoren wird die Sache allerdings etwas haarig, und ich habe Probleme, mir das überhaupt bildlich vorzustellen. Wenn ich die gleiche Methode wie bei 2 Vektoren anwende:
[mm] \parallel \overrightarrow{v1} [/mm] - [mm] \overrightarrow{v2} \parallel [/mm] ²
davon die partielle Ableitung nach r1 und r2 liefert mir ein LGS mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten
nach r1 z.B.:
r1*(a1²+b1²+c1²)-r2*(a1*a2+b1*b2+c1*c2)+(x1-x2)*a1+(y1-y2)*b1+(z1-z2)*c1=0
mit den Werten von r1 und r2 kann ich mir dann 2 Punkte auf den Vektoren berechnen. Deren Mittelwert ist dann der gesuchte Punkt! So weit so gut, bei drei Vektoren kann ich das Spielchen aber dreimal machen. Und soweit ich mir das vorstellen kann, ist das nicht so einfach der Mittelpunkt des Dreiecks, das sich durch die drei Punkte ergeben würde, oder doch? Oder darf ich garnicht zuerst den Mittelpunkt berechnen sondern muß den Schwerpunkt des Sechsecks berechnen, das sich ergibt?
Wie dem auch sei: Das hier gehört nicht mehr zum Pflichtprogramm meines Projektes, aber lustig wärs schon, da ich die Daten hätte, um 3 Vektoren einfließen zu lassen. Das würde das Ergebnis sicher verbessern. Also wer irgend ne idee hat, wie es gehen könnte, immer her damit! oder wer sich ein beispiel ausdenken kann, mit dem ich es dann mal gegenrechnen könnte, wär auch nicht schlecht. ich bin hier nämlich die ganze zeit schon am herumfingern mit bleistiften, um mir drei sich nicht kreuzende vektoren darzustellen... bzw, welcher Punkte denen wohl am nächsten ist...
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Hallo, Butzemann
also rechnen will ich das nicht müssen,
aber
eine Bildliche Vorstellung wäre der Schnittpunkt der
Normalebenen ( oder 3er Zylindermäntel um die Geraden )
An den Z.m.'s 'sieht" man daß es eine Lösung geben muß.
Gruß F.
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