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| Aufgabe | Konstruieren Sie eine steltige Funktion f [mm] \in \mathcal{L}^1(\IR), [/mm] die von jeder stetigen Funktion g mit kompaktem Träger [mm] supp(g):=\overline{{x\in\IR|g(x)\not=0}} [/mm] beliebig stark abweicht:
[mm] \sup_{x\in\IR}|f(x)-g(x)|=\infty [/mm] |
Hallo zusammen
ich habe keinen Plan bei dieser Aufgabe. Kann mir bitte jemand helfen? Was ist denn z.B. mit der Funktion g(x)=f(x)? Da klappt das doch gar nicht! Muss die Funktion irgendwie abhängig von [mm] \g(x) [/mm] sein?
Könnte z.B. [mm] f(x)=(g(x))^x [/mm] eine Lösung sein?
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Nein ich bin ja blöd!
Dann wäre f [mm] \not\in \mathcal{L}^1(\IR)
[/mm]
Aber wie wäre es mit [mm] \bruch{1}{g(x)^x}?
[/mm]
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Hallo,
> Konstruieren Sie eine steltige Funktion f [mm]\in \mathcal{L}^1(\IR),[/mm]
> die von jeder stetigen Funktion g mit kompaktem Träger
> [mm]supp(g):=\overline{{x\in\IR|g(x)\not=0}}[/mm] beliebig stark
> abweicht:
> [mm]\sup_{x\in\IR}|f(x)-g(x)|=\infty[/mm]
> Hallo zusammen
> ich habe keinen Plan bei dieser Aufgabe. Kann mir bitte
> jemand helfen? Was ist denn z.B. mit der Funktion
> g(x)=f(x)? Da klappt das doch gar nicht! Muss die Funktion
> irgendwie abhängig von [mm]\g(x)[/mm] sein?
> Könnte z.B. [mm]f(x)=(g(x))^x[/mm] eine Lösung sein?
ich glaube, da bist du auf dem falschen dampfer.  es geht darum, eine konkrete funktion $f$ anzugeben, die stetig und ueber ganz $R$ integrierbar ist und sich von jeder vorstellbaren funktion $g$ (die stetig mit kompaktem traeger sein muss) beliebig unterscheidet.
Ich muss aber zugeben, dass meine mathematische vorstellungskraft mich da momentan im stich laesst und ich dir nicht weiterhelfen kann.
gruss
Matthias
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:24 Mi 02.12.2009 | | Autor: | HILFE16 |
Kann f(x) = [mm] e^x [/mm] eine Lösung sein?
Dass Integral von exp(x) ist ja im unendlichen unendlich.
Das g(x) ist ja aiußerhalb seiner kompakten Trägers = 0. Dies kann ja erst irgendwann im unendlichen passieren...
also ist doch nun sup | f(x) - g(x) | = [mm] \infty
[/mm]
f(x) = exp (x) ist ja eine stetige Funktion die auch in $ [mm] \in \mathcal{L}^1(\IR), [/mm] $ ist.
oder denke ich falsch?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:51 Mi 02.12.2009 | | Autor: | HILFE16 |
ahhh nein kann doch nicht sein...
exp(x) ist nicht lebesgue-int´bar.
mmhh mist...sry
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:12 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Denny22 |
> Ich muss aber zugeben, dass meine mathematische
> vorstellungskraft mich da momentan im stich laesst und ich
> dir nicht weiterhelfen kann.
Ja, die Vorstellungskraft laesst mich hierbei auch im Stich.
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> Konstruieren Sie eine stetige Funktion f [mm]\in \mathcal{L}^1(\IR),[/mm]
> die von jeder stetigen Funktion g mit kompaktem
> Träger [mm]supp(g):=\overline{\{x\in\IR\,|\,g(x)\not=0\}}[/mm] beliebig stark
> abweicht:
> [mm]\sup_{x\in\IR}|f(x)-g(x)|=\infty[/mm]
> Hallo zusammen
> ich habe keinen Plan bei dieser Aufgabe. Kann mir bitte
> jemand helfen? Was ist denn z.B. mit der Funktion
> g(x)=f(x)? Da klappt das doch gar nicht!
das finde ich auch !
Hallo,
hier stimmt doch möglicherweise in der Aufgabenstellung
etwas mit den Quantoren nicht.
Die beiden Versionen
1.) "Konstruieren Sie eine stetige Funktion f ..... die
von jeder stetigen Funktion g ..... beliebig stark abweicht"
2.) "Geben Sie an, wie man zu einer beliebigen stetigen
Funktion f ..... eine stetige Funktion g ..... konstruieren
kann, welche von f beliebig stark abweicht"
sind zwei ganz verschiedene Paar Schuhe !
Was war nun also wirklich gemeint ?
LG Al-Chw.
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Hi,
> Hallo,
>
> hier stimmt doch möglicherweise in der Aufgabenstellung
> etwas mit den Quantoren nicht.
>
> Die beiden Versionen
>
> 1.) "Konstruieren Sie eine stetige Funktion f ..... die
> von jeder stetigen Funktion g ..... beliebig stark
> abweicht"
>
> 2.) "Geben Sie an, wie man zu einer beliebigen stetigen
> Funktion f ..... eine stetige Funktion g .....
> konstruieren
> kann, welche von f beliebig stark abweicht"
>
> sind zwei ganz verschiedene Paar Schuhe !
>
> Was war nun also wirklich gemeint ?
>
>
> LG Al-Chw.
wenn ich mir den thread hier anschaue, vermute ich, dass die aufgabe schon richtig gestellt ist. Komplett beantwortet wurde die frage allerdings auch damals nicht.
allerdings hatte Secki denke ich schon die richtige idee: eine funktion, die unendlich viele, immer hoeher werdende, 'hoecker' hat, die aber mass-theoretisch nicht ins gewicht fallen. man nimmt zb. eine konvergente reihe [mm] $\sum a_n$ [/mm] (mit positiven [mm] a_n) [/mm] und konstruiert dann die hoecker der fkt so, dass jeder eine flaeche mit mass [mm] a_n [/mm] einschliesst. also zb. mit funktionswert n und breite [mm] a_n/n. [/mm]
Dann sollte die fkt. doch ueber ganz R integrierbar sein (mit integral [mm] $\sum a_n$) [/mm] und dennoch immer groesser werdende fkts-werte haben...
gruss
Matthias
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> Hi,
> wenn ich mir den thread hier
> anschaue, vermute ich, dass die aufgabe schon richtig
> gestellt ist. Komplett beantwortet wurde die frage
> allerdings auch damals nicht.
>
> allerdings hatte Secki denke ich schon die richtige idee:
> eine funktion, die unendlich viele, immer hoeher werdende,
> 'hoecker' hat, die aber mass-theoretisch nicht ins gewicht
> fallen. man nimmt zb. eine konvergente reihe [mm]\sum a_n[/mm] (mit
> positiven [mm]a_n)[/mm] und konstruiert dann die hoecker der fkt so,
> dass jeder eine flaeche mit mass [mm]a_n[/mm] einschliesst. also zb.
> mit funktionswert n und breite [mm]a_n/n.[/mm]
>
> Dann sollte die fkt. doch ueber ganz R integrierbar sein
> (mit integral [mm]\sum a_n[/mm]) und dennoch immer groesser werdende
> fkts-werte haben...
>
> gruss
> Matthias
Hallo Matthias,
eine so konstruierte Funktion f wäre dann doch auch eine
stetige Funktion, welche man auch an der Stelle von g
einsetzen kann - und dann ist die Abweichung überall
gleich null und nirgends unendlich.
Doch vielleicht kommen wir damit der Antwort doch etwas
näher - ich habe mir z.B. noch nicht klar gemacht, was
die Bedingung mit dem "kompakten Träger" genau bedeutet.
Wenn ich das richtig sehe, sollte man also Ausschau halten
nach einer stetigen Funktion endlichen L-Maßes mit mögli-
cherweise dicht liegenden beliebig hohen Spitzen und
nicht kompaktem Träger.
LG Al-Chw.
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> Konstruieren Sie eine steltige Funktion f [mm]\in \mathcal{L}^1(\IR),[/mm]
> die von jeder stetigen Funktion g mit kompaktem Träger
> [mm]supp(g):=\overline{\{x\in\IR|g(x)\not=0\}}[/mm] beliebig stark
> abweicht:
> [mm]\sup_{x\in\IR}|f(x)-g(x)|=\infty[/mm]
Hallo,
nachdem ich mir das nochmals überlegt habe,
denke ich, dass man eine solche stetige Funk-
tion f folgendermaßen konstruieren kann:
Wir gehen von der Nullfunktion aus und setzen
ihr in der Umgebung der Stellen $\ [mm] x_n=2^n\quad (n\in\IN)$
[/mm]
"Peaks" in der Form von gleichschenkligen
Dreiecken auf, wobei die Höhe [mm] y_n [/mm] des Peaks
an der Stelle [mm] x_n [/mm] , also [mm] y_n=f(x_n)=x_n [/mm] sein soll und
der Flächeninhalt des n-ten Peaks gleich [mm] 2^{-n} [/mm] .
So erhält man eine auf ganz [mm] \IR [/mm] stetige Funktion
f, deren Trägermenge nach rechts unbeschränkt
und somit nicht kompakt ist. Sie hat ausserdem
das Integral [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1 [/mm] . Da f aber nur mit
stetigen Funktionen g mit kompaktem (also
insbesondere auch nach oben beschränktem
Träger) "konkurrieren" muss, ist offensichtlich,
dass [mm] f(x_n) [/mm] für alle [mm] x_n [/mm] , welche rechts vom Träger
von g liegen, [mm] g(x_n) [/mm] beliebig hoch übertreffen kann,
und zwar mit [mm] \limes_{n\to\infty} (f(x_n)-g(x_n))=\infty [/mm] .
LG Al-Chw.
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