Abstand des Ursprungs O < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Core2 |
| Aufgabe | 3
Die Ebene E des R³ sei durch die Gleichung x + y/2 + z/2 = 1 beschrieben .
Die Ebene E des
Bestimmen Sie
a) den Abstand des Ursprungs O von E .
b) den Fußpunkt des Lots von O auf die Ebene E . |
hallo ich brauche wieder hilfe
also ich kenne alle Vektorrechnungen (skalar usw.)
aber diese Aufgabe versteh ich nicht . ich weiß gar nicht wie man da vorgehen kann.
Kann jemand mir bitte sagen was ich rechnen muss? und wie ich diese Aufgabe lösen kann? ich brauche keine Antwort nur paar Tipps
danke im Voruas
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:02 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Der kürzeste Verbindung zwischen Punkt und Ebene ist ja eine Gerade (die senkrecht auf der Ebene steht und durch den Punkt geht).
Du köntest diese gerade aufstellen, den Schnittpunkt von ihr und der Ebene berechnen und dann müsstest du nur noch den Abstand von O und S bestimmen.
Damit hättest du a) und b) erfüllt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Core2 |
also wie ich das verstanden habe muss ich kreuzprodukt von x und y berechnen? (die senkrecht)
Aber bisher hab ich nur Gleichungen in Paramter darstellung kenngelernt sowas wie x(1,1,2) und y(3,3,2).
wie kann ich mit x und y/2 Kruezprodukt rechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Teufel |
Hmmm ich glaube du stellst dir das zu kompliziert vor :)
Wenn du deine Ebene gegeben hast mit E: [mm] x+\bruch{1}{2}y+\bruch{1}{2}z=1, [/mm] dann weißt du, dass der Normalenvektor der Ebene [mm] \vec{n}=\vektor{1 \\ 0,5 \\ 0,5} [/mm] ist!
Und der Normalenvektor der Ebene steht ja senkrecht auf der Ebene.
Und wenn du dann eine Gerade willst, die noch durch O geht, nimmst du Ortsvektor von O einfach als Stüzvekt, was ja in dem Fall sehr einfach ist, da der Stützvektor dadurch rausfällt.
g: [mm] \vec{x}=r*\vektor{1 \\ 0,5 \\ 0,5}, [/mm] r [mm] \in \IR [/mm] könnte deine Gerade heißen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Core2 |
[mm] \vektor{0\\ 0\\0} [/mm] + r [mm] \vektor{1\\ 0,5\\0,5} [/mm] = 1
ich hab versucht r zu rechnen
r*1+r*0,5+r*0,5=1
r = 0,5
mach ich das richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Teufel |
Du musst einfach nur Gerade (die übrigens einen kleinen Fehler hatte, aber nun berichtigt wurde) und die Ebene gleichsetzen!
Dazu könntest du die Gerade in ihre Koordinaten aufspalten.
Also x=r, y=0,5r, z=0,5r und das für x, y und z in die Ebene einsetzen, r rauskriegen, r wieder in die Gerade einsetzen und den Punkt rauskriegen.
Aber ich weiß nicht, wie ihr sonst Geraden und Ebenen gleichgesetzt habt!
Du kannst die Ebene natürlich auch in die Parameterform umwandeln.
Und das mit dem =1 setzen geht leider nicht!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:14 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Core2 |
ich hab das immernoch nicht verstanden :(
ich hab sogar die Lösugen dafür aber bringt nichts
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Teufel |
Was sagt denn die Lösung?
Ich wollte nur das Lot von O auf die Ebene fällen, den Schnittpunkt S berechnen und dann den Abstand von O und S berechnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Core2 |
also das ist die Lösung:
x + 1/2 y + 1/z = 1
p = [mm] |\vec{v0}-\vec{v0}| \vec{v0} [/mm] = [mm] \vektor{0\\1\\1}
[/mm]
n0 berechnen
3 punkte :
[mm] \vec{x}=\vektor{0\\1\\1} [/mm] + [mm] \vektor{0,5\\0\\-1} [/mm] + s [mm] \vektor{0,5\\-1\\0}
[/mm]
n= [mm] \vec{a} \times \vec{b}=\vektor{-1\\-0,5\\-1}
[/mm]
[mm] |\vec{a} \times \vec{b}|=\wurzel{1,5}=1,22
[/mm]
n0 = [mm] \vec{n} [/mm] \ [mm] |\vec{n}| [/mm] = 0,82 * [mm] \vektor{1\\0,5\\-0,5}
[/mm]
p= [mm] \vec{n0} [/mm] \ [mm] \vec{p0} [/mm] = 0,82
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:29 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Teufel |
[mm] \vec{a}x\vec{b} [/mm] liefert dir ja nur wieder den Normalenvektor der Ebene, den du eh schon kennst (der allerdings das erstma mal falsch berechnet wurde).
Und das danach versteh ich nicht mehr. Die Lösung zielt wohl auf die hessesche Normalform ab, da du einen Normaleneinheitsvektor bildest, aber in der letzten Zeile teilst du plötzlich 2 Vektoren durcheinander.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Core2 |
man man man diese aufgabe find ich irgendwie schwer und übermorgen schreib ich meine klassenarbeit und immernoch nicht verstanden worum es geht !!
danke nochmal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:49 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Teufel |
Wenn du deine vorgegebene Lösung nicht verstehst (was ich auch verstehen kann), dann versuch erstmal meine nachzuvollziehen! Du hast eine Ebene die irgendwo schräg im Raum liegt und du willst den Abstand von O zur Ebene haben.
Dazu fällst du das Lot auf die Ebene, von O aus, also eine gerade, die durch O geht und senkrecht auf der Ebene steht, weil man so die kürzeste Verbindung zwischen einem Punkt und einer Ebene herstellen kann.
Ist das so weit erst einmal klar?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Core2 |
ja soweit alles klar ! ich rechne mal dann weiter !!
tnx
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Teufel |
Ok ;)
Und die weitere Verfahrensweise habe ich ja schon oben beschrieben! Mit der Geraden aufstellen, Gerade und Ebene schneiden lassen, Abstand vom Schnittpunkt und S berechnen (S ist der Schnittpunkt).
Weil du so auch leicht 2 Fliegen mit einer Klappe schlage kannst, weil der Schnittpunkt zugleich der Fußpunkt von O auf E ist.
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