Abstand bei Extremwertproblem < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Von welchem Punkt des Graphen f(x)=x² hat der Punkt Q(0/1.5) den kleinsten Abstand? |
Wie löst man sowas? Ich weiß, dass ich in irgendeiner Form den Pythagoras anwenden muss. Aber wie????
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo SCFreiburg,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Die Abstandsformel zweier Punkte $A \ [mm] \left( \ x_A \ | \ y_A \ \right)$ [/mm] und $B \ [mm] \left( \ x_B \ | \ y_B \ \right)$ [/mm] lautet folgendermaßen (die sich auch aus dem Satz des Pythagoras ergibt):
[mm] $d_{AB} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{ \ \left(x_B-x_A\right)^2+ \left(y_B-y_A\right)^2 \ }$
[/mm]
Um aber nun die Extremwertberechnung mit der gegebenen Funktion zu vereinfachen, empfehle ich hier, folgende Ersatzfunktion zu verwenden:
$g(x) \ = \ [mm] \left[ \ d(x) \ \right]^2 [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ \wurzel{ \ \left(x-0\right)^2+ \left(x^2-1.5\right)^2 \ } \ \right]^2 [/mm] \ = \ [mm] \left(x-0\right)^2+ \left(x^2-1.5\right)^2 [/mm] \ = \ ...$
Dies darfst Du machen, weil die Wurzelfunktion streng monoton steigend ist; d.h. extremale Werte unter der Wurzel ergeben auch extremale Wurzelwerte.
Gruß vom
Roadrunner
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Okay, vielen Dank, aber ich hab noch eine Verständnisfrage:
Wie kommt man in der zweiten Klammer auf x² statt auf x??
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Hallo SCFreiburg!
Da habe ich bereits den Funktionsterm $y \ = \ f(x) \ = \ [mm] \red{x^2}$ [/mm] eingesetzt.
Nun klar(er)?
Gruß vom
Roadrunner
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Ähm, ich nochmal:
wenn ich das dann auflöse und mit Sustitution und anschließender PQ-Formel lösen will, kommt da keine Lösung raud, da das Ergebnis unter der Wurzel minus ergibt.
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Hallo SCFreiburg!
Was hast Du denn genau berechnet? Das klingt mir irgendwie nach Nullstellenberechnung, was Du da machst.
Um die Extremwerte zu berechnen, musst Du doch zunächst die erste Ableitung ermitteln und davon die Nullstellen berechnen.
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:50 Do 29.03.2007 | | Autor: | SCFreiburg |
Oh, das ist ja peinlich! Du hast natürlich recht!
VIELEN DANK für deine ausdauernde Hilfe!!!
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Jetzt wird es mir WIRKLICH unangenehm, aber ich komme immer noch nicht weiter, denn jetzt kommt die Polynomdivision. Ich hab ne Frage: Könntest du mir die eine Aufgabe einmal komplett lösen, dann hab ich ne Anschauung für alle weiteren? Wenn das zu aufwendig ist, ist egal. Also: Kein Stress
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:05 Do 29.03.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das ganze ist nicht weiter schwer.
[mm] A(x)=x^{4}-2x²+\bruch{9}{4}
[/mm]
Also:
A'(x)=4x³-4x
Jetzt: A'(x)=0
Also 4x³-4x=0
[mm] \gdw [/mm] 4x(x²-1)=0
[mm] \Rightarrow [/mm] x=0, oder [mm] x²-1=0\Rightarrow x=\pm1
[/mm]
Und jetzt noch
A''(x)=12x²-4
A''(0)<0, also HP
[mm] A''(1)\underbrace{=}_{Symmetrie}A''(-1)>0, [/mm] also TP
Marius
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