Abstand Punkt zu Gerade < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:43 Mo 21.03.2005 | | Autor: | sophyyy |
Hallo
ich weiß nicht wie ich diese art von aufgaben rechnen soll:
ich habe
P [mm] \vektor{6 \\ 7 \\ -3} [/mm] und
g: x = [mm] \vektor{2 \\ 1\\ 4} [/mm] + t [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ -2}
[/mm]
ich habe zuerst die Koordinatenform aufgestellt mit dem Richtungsvektor von g und P als Punkt eingesetzt
3x1 - 2x3 + 24 = t
setzte ich für x1 und x2 nochmal die Zahlen von P ein dann steht für
t= 0
das kann ja nicht sein!
ebenso z.B.
P [mm] \vektor{-2 \\ -6 \\ 1}
[/mm]
g: x= [mm] \vektor{5 \\ 9 \\ 1} [/mm] + t [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 2}
[/mm]
nach der koordinatenform
3x1 + 2x1 + 2x3 + 16 = t
steht bei mir wieder
t= 0
wo sitzt denn da der fehler?
vielen dank!!
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Hi, Sophy,
>
> ich habe
> P [mm]\vektor{6 \\ 7 \\ -3}[/mm] und
>
> g: x = [mm]\vektor{2 \\ 1\\ 4}[/mm] + t [mm]\vektor{3 \\ 0 \\ -2}
[/mm]
>
>
> ich habe zuerst die Koordinatenform aufgestellt mit dem
> Richtungsvektor von g und P als Punkt eingesetzt
Dass wir uns recht verstehen: Diese Koordinatenform gehört zu derjenigen EBENE (!) E, die auf der Geraden g senkrecht steht und durch den Punkt P geht!
>
> 3x1 - 2x3 + 24 = t
>
Falsch: Vorzeichenfehler bei der Konstanten und: Wo kommt denn das "t" her? Das hat in der Koordinatenform nichts zu suchen!
Richtig wäre E: 3x1 - 2x3 - 24 = 0
> setzte ich für x1 und x2 nochmal die Zahlen von P ein dann
> steht für
> t= 0
> das kann ja nicht sein!
Das muss sogar so sein, da - wie Du oben schreibst - der Punkt P als Aufpunkt verwendet wurde. Drum ist das Einsetzen von P jetzt auch sinnlos!
Dein weiterer Rechenweg geht so: Du setzt die Gerade g in die Ebene E ein:
3*(2+3t) - 2(4-2t) -24 = 0
6 + 9t - 8 + 4t - 24 = 0
13t - 26 = 0
t = 2.
Damit erhältst Du den Punkt Q(8 / 1/ 0).
Der von Dir gesuchte Abstand zwischen g und P ist der gleiche wie die Entfernung zwischen P und Q, also:
d = [mm] \overline{PQ} [/mm] = [mm] \wurzel{(8-6)^{2}+(1-7)^{2}+(0+3)^{2}} [/mm] = 7.
Der Abstand beträgt also 7 L.E.
Bei der 2. Aufgabe gehst Du nach demselben Muster vor!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:25 Mo 21.03.2005 | | Autor: | sophyyy |
danke- ich versuchs mal...
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Hallo sophyyy
ich meine, wie folgt geht das einfacher:
gesucht ist doch der Punkt F auf g, also sein t, für den das Skalarprodukt
[mm] $(\vec{F} [/mm] - [mm] \vec{g})\odot\vec{r}$ [/mm] gleich 0 ist wobei
[mm] $\vec{r} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ -2}$ [/mm] der Richtungsvektor der Geraden ist
also [mm]
\vektor{6-2-3t \\
7-1-0t \\
-3-4+2t}\odot \vektor{ 3 \\ 0 \\ -2} = 12-9t + 14-4t = 0[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 Mo 21.03.2005 | | Autor: | sophyyy |
das verwirrt mich jetzt ein bischen
wie kann ich denn (F - g) rechnen, wenn ich F noch gar nicht weiß??
und wir würd ich dann weiter zum Abstand hin rechnen?
danke!!!
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Hallo!
> das verwirrt mich jetzt ein bischen
>
> wie kann ich denn (F - g) rechnen, wenn ich F noch gar
> nicht weiß??
>
> und wir würd ich dann weiter zum Abstand hin rechnen?
>
> danke!!!
Das ist verständlich, denn die Bezeichnung ist leider etwas mißverständlich gewählt.
Aber es ist eigentlich recht einfach zu verstehen, wenn Du dir mal folgendes überlegst:
Wir bilden einen Vektor von unserm Punkt P zu einem beliebigen Punkt der Geraden.
Wenn p der Ortsvektor deinesa Punktes p wäre, und g ein beliebiger (von t abhängiger) Punkt deiner Geraden, dann sähe dieser Vektorja etwa so aus:
[mm] $v=g-p=\vektor{2 \\ 1\\ 4}+t\vektor{3 \\ 0 \\ -2}-\vektor{6 \\ 7\\ -3}=t\vektor{3 \\ 0 \\ -2}+\vektor{-4 \\ -6 \\ 7}=\vektor{3t-4 \\ -6 \\ 7-2t}$
[/mm]
Soweit so gut.
Was wir jetzt suchen, ist genau der Parameterwert t, für den v auf der Geraden senkrecht steht, denn genau da wollen wir ja unseren Abstand messen.
Dazu brauchen wir noch den Richtungsvektor r der Geraden und haben dann: $v*r=(g-p)*r=0_$.
[mm] $\Rightarrow \vektor{3t-4 \\ -6 \\ 7-2t}*\vektor{3 \\ 0 \\ -2}=0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] (3t-4)*3-6*0+(7-2t)*(-2)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] 13t-26=0 [mm] \Rightarrow [/mm] t=2$
So. Erstmal Luft holen  . Jetzt wissen wir also Folgendes:
Der Punkt (nennen wir ihn mal Q), auf der Geraden, von dem aus wir den Abstand zu unserem Punkt P messen müssen, weil die Gerade eben da den geringsten Abstand zu unsrem Punkt hat, hat den Parameterwert t=2.
Na dann setzen wir den doch mal ein! t=2 ergibt: [mm] $q=\vektor{2 \\ 1\\ 4}+t\vektor{3 \\ 0 \\ -2}=\vektor{2 \\ 1\\ 4}+2\vektor{3 \\ 0 \\ -2}=\vektor{8 \\ 1 \\ 0}$
[/mm]
So. Ich hoffe, Du konntest bis hierher folgen, wenn nicht, einfach nochmal nachhaken!
Ab hier kannst Du einfach den Abstand der Punkte P und Q ausrechnen und bist fertig, das Ergebnis [mm] $\overline{PQ}=7_$ [/mm] hatte Zwerglein ja vorher auch schon.
Ich hoffe, ich habe mich verständlich ausgedrückt,
Gruß,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:59 Mo 21.03.2005 | | Autor: | sophyyy |
ööh - ja! danke -
aber ich glaube, dass die formel vom zwerglein mit dem "kreuzprodukt" für 2d doch am schnellsten und mit wenig verrechnen geht!
versuche trotzdem deinen vorschlag nachzudenken!
nochmal danke
lg
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