Abstand Punkt-Ebene < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 Di 11.10.2005 | | Autor: | Juju86 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi,
ich versuche gerade eine Aufgabe zu lösen in der der Abstand eines Punktes P (5|15|9) von der Ebene E durch die Punkte A(2|2|0), B(-2|2|6) und C(3|2|5) gesucht ist. Man soll dies OHNE Benutzung der Hesseschen Normalenform errechnen!!
Wenn ich das MIT der HNF ausrechnen sollte, dann müsste ich doch einfach den Punkt P in die Normalenform einsetzten und als Normalenvektor A, B oder C nehmen, richtig?? Aber OHNE Benutzung der HNF weiß ich nicht, wie das funktionieren soll.
Ich hoffe, dass du mir weiterhelfen kannst.
Lg, Juju
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 Di 11.10.2005 | | Autor: | taura |
Hallo Juju!
> ich versuche gerade eine Aufgabe zu lösen in der der
> Abstand eines Punktes P (5|15|9) von der Ebene E durch die
> Punkte A(2|2|0), B(-2|2|6) und C(3|2|5) gesucht ist. Man
> soll dies OHNE Benutzung der Hesseschen Normalenform
> errechnen!!
> Wenn ich das MIT der HNF ausrechnen sollte, dann müsste ich
> doch einfach den Punkt P in die Normalenform einsetzten und
> als Normalenvektor A, B oder C nehmen, richtig??
Nicht ganz, du musst als Normalenvektor einen Vektor nehmen der senkrecht zu zwei der drei Verbindungsvektoren von A, B und C steht, also zum Beispiel zu [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] und [mm]\overrightarrow{BC}[/mm].
> Aber OHNE
> Benutzung der HNF weiß ich nicht, wie das funktionieren
> soll.
Ich vermute mal, dass du das Lot von P auf die Ebene fällen sollst, dann den Lotfußpunkt bestimmen und den Abstand der beiden Punkte berechnen sollst.
Dafür brauchst du zunächst auch den Normalenvektor n der Ebene (wie oben beschrieben), stellst die Gerade auf, die druch P geht und senkrecht zu E ist (Aufhängevektor P, Richtungsvektor n) und berechnest den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene. Das ist der Lotfußpunkt. Jetzt kannst du den Abstand von P zu diesem Schnittpunkt berechnen, das ist auch der Abstand zur Ebene.
Kommst du damit weiter? Wenn nicht frag nochmal nach 
Gruß taura
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Di 11.10.2005 | | Autor: | Juju86 |
hi taura,
ich habe mal versucht deinen "Anweisungen" zu folgen; bin aber leider zu keinem Ergebnis gekommen :(
mein Normalenvektor [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\6}
[/mm]
Daraufhin habe ich die Geradengleichung erstellt:
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 15 \\ 9} [/mm] +t* [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 6}
[/mm]
Nun die Schnittpunkte: [mm] x_{1} [/mm] = 5 ; [mm] x_{2} [/mm] = 15 ; [mm] x_{3}= [/mm] 9+6t
[mm] x_{1,2,3} [/mm] wollte ich dann in die Koordinatengleichung der Ebene einf+ge und dabei fiel mir auf, dass ich die gar nicht habe...
Aber ich habe versucht sie zu errechnen :) und zwar wie folgt:
Möglichkeit 1: [mm] E:\vec{x} [/mm] = [mm] \vec{p} [/mm] + r* [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] + s* [mm] \overrightarrow{BC}
[/mm]
Möglichkeit 2: Einfach den Betrag der Vektoren nehmen. Das hat aber leider nicht funktioniert :(
Ich hoffe, dass du mir weiterhelfen kannst
Juju
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 Di 11.10.2005 | | Autor: | Disap |
Hallo Juju86.
( A(2|2|0), B(-2|2|6) und C(3|2|5) )
> hi taura,
> ich habe mal versucht deinen "Anweisungen" zu folgen; bin
> aber leider zu keinem Ergebnis gekommen :(
> mein Normalenvektor [mm]\vec{n}[/mm] = [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] =
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\6}[/mm]
Hier hast du dich leider vertan, und zwar ist das nicht der Vektor [mm] \overrightarrow{AB}!
[/mm]
Denn du hast leider einen Vorzeichenfehler gemacht:
[mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \vektor{-2 -2\\2-2 \\6} =\vektor{-4 \\ 0 \\6}
[/mm]
Des Weiteren ist der [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] nicht der Normalenvektor einer Ebene, sondern nur ein Richtungsvektor. Das heißt, so wie du es berechnet hast, hat das noch nichts mit senkrecht zu tun.
Da du nun schon einen Richtungsvektor berechnet hast, wäre es am günstigsten, zunächst eine Ebene in Parameterform aufstellen. Dann aus den beiden Richtungsvektoren den Normalenvektor zu bilden.
> Daraufhin habe ich die
> Geradengleichung erstellt:
> g: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{5 \\ 15 \\ 9}[/mm] +t* [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 6}[/mm]
Das Prinzip ist richtig, hättest du den richtigen Normalenvektor denn gehabt.
Danach musst du die Parameterform nur noch mit der Geradengleichung gleichsetzen und du erhälst drei Gleichungen, die sich schön lösen lassen mit dem Additionsverfahren oder welches dir da auch geläufig ist.
>
> Nun die Schnittpunkte: [mm]x_{1}[/mm] = 5 ; [mm]x_{2}[/mm] = 15 ; [mm]x_{3}=[/mm]
> 9+6t
> [mm]x_{1,2,3}[/mm] wollte ich dann in die Koordinatengleichung der
> Ebene einf+ge und dabei fiel mir auf, dass ich die gar
> nicht habe...
> Aber ich habe versucht sie zu errechnen :) und zwar wie
> folgt:
Natürlich kannst du auch eine Koordinatengleichung aufstellen, aber dafür brauchst du erst einmal den Normalenvektor.
Und dann könntest du die entsprechenden x-,y-,z-Koordinaten einsetzen und nach t auflösen. Finde ich persönlich allerdings nicht so gut, wenn sich vorher die Parameterform anbietet.
> Möglichkeit 1: [mm]E:\vec{x}[/mm] = [mm]\vec{p}[/mm] + r*
> [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] + s* [mm]\overrightarrow{BC}[/mm]
> Möglichkeit 2: Einfach den Betrag der Vektoren nehmen. Das
> hat aber leider nicht funktioniert :(
Hier bist du schon einen Schritt weiter. Hast du den Schnittpunkt mit der Ebene berechnet (auch Lotfusspunkt genannt), bildest du den Vektor mit dem Lotfusspunkt und deinem Punkt P, dann nimmst du den Betrag und bekommst den Abstand. Aber das wurde ja schon einmal schön von taura erläutert.
> Ich hoffe, dass du mir weiterhelfen kannst
>
> Juju
mit den allerbesten Grüssen Disap
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