Abstand Kreis zum Punkt < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:42 So 19.10.2014 | | Autor: | Teryosas |
| Aufgabe | | Berechnen Sie unter Verwendung des Lagrange-Funktionals diejenigen Punkte auf einem Kreis x²+y²=25, deren Abstand vom Punkt (2,4) am größten bzw. am kleinsten ist. |
Hey,
erstmal hoffe ich das ich in diesem Kapitel richtig bin (im Skript ist es zumindest unter "Integration mit mehreren Veränderlichen" gekennzeichnet).
Nur Leider verstehe ich das Skript nicht so ganz bzw kann es nicht auf die Aufgabe anwenden.
Wäre cool wenn mir da jemand helfen könnte weil ich blicke da echt gar nicht durch.
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> Berechnen Sie unter Verwendung des Lagrange-Funktionals
> diejenigen Punkte auf einem Kreis x²+y²=25, deren Abstand
> vom Punkt (2,4) am größten bzw. am kleinsten ist.
Hallo,
was ein Lagrange-Funktional ist, weiß ich gar nicht.
Ich würde hier mit der Methode der Lagrange-Multiplikatoren eine ganz normale Extremwertberechnung mit Nebenbedingung durchführen:
zu optimierende Funktion:
[mm] f(x,y)=(x-2)^2+(y-4)^2.
[/mm]
Dies Funktion beschreibt das Quadrat des Abstandes eines Punktes (x,y) zum vorgegebenen Punkt (2,4).
Nebenbedingung: [mm] x^2+y^2-25=0.
[/mm]
Nun die Lagrangefunktion aufstellen:
[mm] L(x,y\lambda)=(x-2)^2+(y-4)^2+\lambda(x^2+y^2-25),
[/mm]
und jetzt weiter so, wie Du es vermutlich gelernt hast,
also
partielle Ableitungen aufstellen, diese =0 setzen, Gleichungssystem lösen.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 So 19.10.2014 | | Autor: | Teryosas |
okay, ja das sieht gut aus.
ähnlich wie im Skript.
Muss dann jeweils 2 mal ableiten nach x, y und [mm] \lambda [/mm] ableiten wenn ich mich nicht irre oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:27 So 19.10.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
genau,das sind die nächsten Schritte, wie Angela bereits andeutete.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 So 19.10.2014 | | Autor: | Teryosas |
also irgendwie komme ich auf kein sinnvolles Ergebnis.
Habe mir den Kreis und den Punkt mal aufgezeichnet und lineal über beides gehalten womit ich ja auch den ungefähren nähsten bzw entferntesten Punkt ablesen kann. Der nahe liegt bei ca. (2.25,4.5).
Meine errechneten liegen jedoch bei (5/3, 10/3)
Also habe ein mal L jeweils nach x, y und [mm] \lambda [/mm] abgeleitet. Hätte ich es zweimal gemacht wäre da kein sinnvolles System rausgekommen.
Kam dann auf
(1) [mm] 2x-4+2x\lambda [/mm] = 0
(2) [mm] 2y-8+2y\lambda [/mm] = 0
(3) x²+y²-25 = 0
(1) und (2) jeweils nach x bzw y aufgelöst ergab
(1') [mm] x=\bruch{4}{2+2\lambda}
[/mm]
(2') [mm] y=\bruch{8}{2+2\lambda}
[/mm]
Bei der (3) habe ich einfachheitshalber die 25 auf die andere Seite gezogen und die Wurzel gezogen.
(3') x+y=5
Dann (1') und (2') in (3') eingesetzt und rauskam [mm] \lambda=0,2
[/mm]
Das dann wieder in (1') und (2') eingesetzt und kam dann auf das Ergebnis (5/3, 10/3)
Wo ist mein Fehler? Weil laut meiner Skizze kann das nicht sein.
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Hallo Teryosas,
> also irgendwie komme ich auf kein sinnvolles Ergebnis.
> Habe mir den Kreis und den Punkt mal aufgezeichnet und
> lineal über beides gehalten womit ich ja auch den
> ungefähren nähsten bzw entferntesten Punkt ablesen kann.
> Der nahe liegt bei ca. (2.25,4.5).
> Meine errechneten liegen jedoch bei (5/3, 10/3)
>
> Also habe ein mal L jeweils nach x, y und [mm]\lambda[/mm]
> abgeleitet. Hätte ich es zweimal gemacht wäre da kein
> sinnvolles System rausgekommen.
>
> Kam dann auf
> (1) [mm]2x-4+2x\lambda[/mm] = 0
> (2) [mm]2y-8+2y\lambda[/mm] = 0
> (3) x²+y²-25 = 0
>
> (1) und (2) jeweils nach x bzw y aufgelöst ergab
> (1') [mm]x=\bruch{4}{2+2\lambda}[/mm]
> (2') [mm]y=\bruch{8}{2+2\lambda}[/mm]
>
> Bei der (3) habe ich einfachheitshalber die 25 auf die
> andere Seite gezogen und die Wurzel gezogen.
> (3') x+y=5
>
> Dann (1') und (2') in (3') eingesetzt und rauskam
> [mm]\lambda=0,2[/mm]
> Das dann wieder in (1') und (2') eingesetzt und kam dann
> auf das Ergebnis (5/3, 10/3)
>
> Wo ist mein Fehler? Weil laut meiner Skizze kann das nicht
> sein.
Der Fehler liegt bei der Gleichung (3').
Diese muss lauten:
[mm]\wurzel{x^2+y^2}=5[/mm]
Also lass die Gleichung (3) im Ursprungszustand
setze (1') und (2') in (3) ein und löse nach [mm]\lambda[/mm] auf.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:11 So 19.10.2014 | | Autor: | Teryosas |
ahh ja mal wieder zu einfach gemacht :D
Danke hab jetzt Ergebnisse raus die auch mit meiner Skizze übereinstimmen :D
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