Abstand Gerade Ebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 So 19.11.2006 | | Autor: | JR87 |
| Aufgabe | Berechen Sie den Abstand zwischen der Gerade g und der Ebene [mm] \varepsilon
[/mm]
g: [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ -8 \\ -2} [/mm] + [mm] s\vektor{3 \\ 2 \\ -4}
[/mm]
[mm] \varepsilon: [/mm] -4x+8y+z = -5 |
Hallo,
mir ist das gleich noch eine Frage aufgekommen. Ich soll den Abstand zwischen der Gerade und der Ebene herausfinden. Beide sind auf jeden Fall schonmal parallel. Somit könnte ich ja jeden beliebigen Punkt auf g nehmen. Irgendwie muss das mit der Hesse'schen Normalform funktionieren. Ich bin mir nur unsicher wie?!?!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 So 19.11.2006 | | Autor: | Riley |
HI,
genau, dass die Gerade und die Ebene parallel sind, kannst du z.B. daran sehen, dass das Skalarprodukt von Normalenvektor der Ebene mit Richtungsvektor der Geraden Null ergibt.
Am besten du stellst die Hesse-Normalform der Ebene auf, dann kannst du den Stützvektor der Geraden einsetzen, Betrag davon nehmen und bekommst den abstand.
viele grüße
riley
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 So 19.11.2006 | | Autor: | JR87 |
Also Meine HNF ist ja [mm] \bruch{1}{9} [/mm] * [mm] \vektor{4 \\ 8 \\ 1} [/mm] * [mm] \vektor{x-2 \\ y-1 \\ z+5} [/mm] = 0
Eingesetzt dann [mm] \bruch{1}{9} [/mm] * [mm] \vektor{4 \\ 8 \\ 1} [/mm] * [mm] \vektor{3 \\ -9 \\ 3} [/mm] = 0
Dann komme ich auf [mm] 1\bruch{1}{3}+ [/mm] 8 + [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Wäre der Abstand [mm] 9\bruch{2}{3} [/mm] LE.
Stimmt das?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 So 19.11.2006 | | Autor: | Riley |
HI,
wie kommst du auf diese HNF?
die Normalform der Ebene ist doch:
[mm] \vektor{-4 \\ 8 \\ 1} \vektor{x \\ y\\z} [/mm] + 5 = 0.
auf die HNF kommst du, wenn du die Gleichung durch die Länge des Normalenvektors [mm] \vektor{-4 \\ 8 \\ 1} [/mm] teilst.
viele grüße
riley
|
|
|
|
