Abstand: Ebenen zum Ursprung < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:02 Mo 14.04.2008 | | Autor: | oli_k |
| Aufgabe | | Wie viele Ebenen durch die Punkte A(2|3|4) und B(6|5|16) gibt es, die zum Ursprung den Abstand 2 haben? Bestimme für jede Ebene eine Gleichung. |
Ansatz: Dritten Punkt C(a|b|c) genommen, Normalenvektor der Ebene durch A, B und C berechnet, davon den Betrag. Dann gilt für den Abstand zum Ursprung ja [mm] d=\vec{n}*\vec{OA}/|\vec{n}|
[/mm]
In Zahlen:
[mm] 2=\bruch{-20a+16b+2c-16}{\wurzel{(2c-12b+28)^2+(12a-2c-16)^2+(2b-4a+2)^2}}
[/mm]
Ich habe keine Ahnung, wie ich aus einer Gleichung mit drei Unbekannten nun was schließen soll...
Wie geht es hier weiter?
Danke!
|
|
| |
|
Hallo [mm] oli_k.
[/mm]
> Wie viele Ebenen durch die Punkte A(2|3|4) und B(6|5|16)
> gibt es, die zum Ursprung den Abstand 2 haben? Bestimme für
> jede Ebene eine Gleichung.
> Ansatz: Dritten Punkt C(a|b|c) genommen, Normalenvektor
> der Ebene durch A, B und C berechnet, davon den Betrag.
> Dann gilt für den Abstand zum Ursprung ja
> [mm]d=\vec{n}*\vec{OA}/|\vec{n}|[/mm]
>
> In Zahlen:
>
> [mm]2=\bruch{-20a+16b+2c-16}{\wurzel{(2c-12b+28)^2+(12a-2c-16)^2+(2b-4a+2)^2}}[/mm]
>
> Ich habe keine Ahnung, wie ich aus einer Gleichung mit drei
> Unbekannten nun was schließen soll...
>
> Wie geht es hier weiter?
Gleichung quadrieren. Den Nenner auf die andere Seite bringen und nach einer Variablen auflösen.
>
> Danke!
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Mo 14.04.2008 | | Autor: | oli_k |
Ja, das weiss ich auch.
Und was hab ich dann davon, ne Gleichung mit drei Unbekannten zu haben? Ich brauch schliesslich Ebenengleichungen... Und aus der Gleichung komm ich da nicht drauf...
|
|
|
| |
|
Hallo [mm] oli_k,
[/mm]
> Ja, das weiss ich auch.
>
> Und was hab ich dann davon, ne Gleichung mit drei
> Unbekannten zu haben? Ich brauch schliesslich
> Ebenengleichungen... Und aus der Gleichung komm ich da
> nicht drauf...
Aus der Gleichung erhältst Du nur die Parameter a,b,c.
Setzt Du diese Parameter in den noch von diesen Parameter abhängigen Normalenvektor ein, so erhältst Du eine konkreten Normalenvektor und damit auch die Ebenengleichung.
Solltest Du auf keine Lösung kommen, so musst Du das nochmal nachrechnen.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:10 Mo 14.04.2008 | | Autor: | oli_k |
Aber ich erhalte doch nur Parameter in Abh. von anderen Parametern... Somit tausche ich die ja quasi nur aus. Das hilft mir auch nicht weiter!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:11 Mo 14.04.2008 | | Autor: | weduwe |
eine alternative wäre:
ax+by+cz+d=0 mit dem normaleneinheitsvektor der ebene [mm] \vec{n}=\vektor{a\\b\\c}, [/mm] also mit [mm](1) a²+b²+c²=1[/mm]
für die alternative [mm]d=+2[/mm] bekommt man damit nach einsetzen der beiden punkte:
[mm]b=-2a-6c[/mm] und weiters [mm]2a=1-7c[/mm] und damit [mm]b=c-1[/mm].
eingesetzt in (1) bekommt man dann [mm] c_1=\frac{1}{3} [/mm] und daraus wieder [mm]a=b=-\frac{2}{3}[/mm].
und somit [mm]E_1: 2x+2y-z-6=0[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo,
Die Angabe angenommener Punkt (a,b,c) ist zu unscharf. Damit lässt Du im Ergebnis alle Punkte (a,b,c) auf der Zielebene (oder den Zielebenen) zu. Damit ergibt sich für a,b,c ein zu grosser Lösungsraum. Vorschlag. Schränke die Punktmenge (a,b,c) z.B. wie folg ein:
Alternative 1: Menge aller Punkte (a,b,c), die auf einem gedachten Kreis um die Strecke der beiden bekannten Punkte liegt. Damit erhälst Du eine weitere Gleichung die gemeinsam mit der 1. Gleichung eine Einschränkung ergeben, mit der Du (zumindest teorethisch) weiterkommen solltest (2 Gl. 3 unbek. immer noch nicht eindeutig lösbar.
Alternative/Ergänzung 2: Du schränkst die Punktmenge (a,b,c) unmittelbar ein auf eine Menge von Punkten mit Abstand 2 vom Ursprung ein (Kugel um den Ursprung). Damit tangiert die Punktmenge exakt die Ebene(n). Mit Ausnahme von Singularitäten (die Gerade zwischen den beiden bekannten Punkten liegt schon auf der Kugel) müssten sich dann genau 2 Lösungen für (a,b,c) ergeben (von der Anschauung her). Also auch hier ein Gleichungssystem mit 3 unbekannten und 2 Gleichungen (1. Gl. von Dir, 2. Gleichung Kugelgleichung a*a+b*b+c*c=2*2)).
Alternative 3: Du konsturierst eine (fast beliebige) Gerade, die z.B. in der X-Ebene senkrecht zur Strecke zw. den beiden Punkten steht, jedoch die Gerade zw. den beiden Punkten nicht schneidet. Dann sollte die Gerade (wieder bis auf sonderfälle, wenn die gewählte Gerade zufällig parallel zur Zielebene läuft) in jedem Falle einen schnittpunkt mit der/den Zielebenen haben. Damit erhälst Du zum Vorteil gegenüber Alternative 1 und 2 eine lineare Gleichung für a,b,c, mit der Du in Verbindung zu Deiner Gleichung besser zu einer Lösung kommen könntest.
Ob du mit den vorgeschlagenen Alternativen eine Lösung ausrechnen kannst, weiss ich nicht. Sind zumindest scheinbar nichtlineare Gleichungssysteme also schwer zugänglich.
Alternative 4: Ich glaube es gibt eine ganz einfache kanonische Lösung, die ich aber auch nicht parat habe. Evt. mal nach ganz anderen Alternativen suchen.
Viel Erfolg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:45 Di 15.04.2008 | | Autor: | weduwe |
die lösüngsvariante mit einem punkt auf der kugeloberfläche ist auch sehr hübsch.
sei der gesuchte berührpunkt P(a/b/c) dann hat man:
(I) [mm] \vektor{a-2\\b-3\\c-4}\cdot\vektor{a\\b\\c}=0
[/mm]
(II) [mm] \vektor{a-6\\b-5\\c-16}\cdot\vektor{a\\b\\c}=0
[/mm]
(III) [mm] a^2+b^2+c^2=4
[/mm]
und damit bekommt man die beiden berührpunkte [mm]B_1(\frac{12}{19}/\frac{36}{19},-\frac{2}{19}) [/mm] und [mm]B_2(\frac{4}{3}/\frac{4}{3}/-\frac{2}{3})[/mm]
na und eine ebene durch 3 punkte sollte gelingen.
|
|
|
|
