Abstand Ebene zu 2 Punkten < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 Di 04.12.2012 | | Autor: | wiwawutz |
| Aufgabe | | a) Es seien A=(1,0,1) und B=(0,1,0): Geben Sie in Hessescher Normalenform die Ebene E an, deren Punkte von beiden Punkten A und B denselben Abstand besitzen. |
Ich bin's nochmal!
Diesmal mit einer eigentlich relativ simplen Aufgabe.
Meine Ansätze :
Gesucht ist ja eine Ebene E, deren Punkte von A und B den gleichen Abstand haben. Da hab ich mir gedacht, dass es ja nur die Hälfte von dem Verbindungsvektor [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] sein kann ( dann haben alle den gleichen Abstand, da die Ebene durch die Mitte geht). Daraus folgt dann [mm] \bruch{1}{2}*\overrightarrow{AB}=\vektor{0,5 \\ -0,5 \\ 0,5}
[/mm]
Für die Hessesche Normalform braucht man noch einen Normalenvektor, da kann ich auch [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] benutzen, daraus folgt dann
[mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ -1}. [/mm] Der Einheitsvektor beträgt [mm] somit\bruch{1}{\wurzel{3}}. [/mm]
Und jetzt hänge ich. Die Lösung sollte eigentlich lauten
E= [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}}*\vektor{1 \\ -1 \\ 1} *\overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\wurzel{3}}.
[/mm]
Wie setze ich das was ich weiss jetzt zusammen, damit ich zu diesem Ergebnis komme?
Vielen Dank schonmal!
|
|
| |
|
Hallo,
> a) Es seien A=(1,0,1) und B=(0,1,0): Geben Sie in
> Hessescher Normalenform die Ebene E an, deren Punkte von
> beiden Punkten A und B denselben Abstand besitzen.
...
> Meine Ansätze :
> Gesucht ist ja eine Ebene E, deren Punkte von A und B den
> gleichen Abstand haben. Da hab ich mir gedacht, dass es ja
> nur die Hälfte von dem Verbindungsvektor
> [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] sein kann ( dann haben alle den
> gleichen Abstand, da die Ebene durch die Mitte geht).
Was ist es? 
> Daraus folgt dann
> [mm]\bruch{1}{2}*\overrightarrow{AB}=\vektor{0,5 \\
-0,5 \\
0,5}[/mm]
>
Das ist zwar für dein Problem nicht so wichtig, aber da oben steht der Vektor [mm] \bruch{1}{2}*\overrightarrow{BA}!
[/mm]
> Für die Hessesche Normalform braucht man noch einen
> Normalenvektor, da kann ich auch [mm]\overrightarrow{AB}[/mm]
> benutzen, daraus folgt dann
> [mm]\vektor{-1 \\
1 \\
-1}.[/mm]
Ab jetzt hast du Dinge gemacht, die relevant für die Aufgabe sind.
> Der Einheitsvektor beträgt
> [mm]somit\bruch{1}{\wurzel{3}}.[/mm]
Wo steht da ein Vektor?
> Und jetzt hänge ich. Die Lösung sollte eigentlich lauten
> E= [mm]\bruch{1}{\wurzel{3}}*\vektor{1 \\
-1 \\
1} *\overrightarrow{x}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\wurzel{3}}.[/mm]
>
> Wie setze ich das was ich weiss jetzt zusammen, damit ich
> zu diesem Ergebnis komme?
Nun, es ist schon noch ein ziemliches Durcheinander, was du da so gemacht hast.
Zunächst einmal würde ich einfach irgendeine Normalengleichung der Ebene aufstellen, also in der Form
[mm] (\vec{x}-\vec{p})*\vec{n}=0
[/mm]
wobei
[mm] \vec{p}: [/mm] Ortsvekor eines Punktes P in der Ebene
[mm] \vec{n}: [/mm] Normalenvektor der Ebene
bedeuten.
Zuerst einmal solltest du dir Gedanken machen, wie du zu dem Punkt P kommst. Wie sollte der denn bezäglich der Punkte A und B liegen?
Einen Normalenvektor hast du ja schon. Ich würde
[mm] \vec{n}=\vektor{1\\-1\\1}
[/mm]
verwenden (weniger Minuszeichen = weniger Fehlerquellen  ). Diese Gleichung multiplizierst du mal aus und bringst sie auf die Form
[mm] \vec{x}*\vec{n}=\vec{p}*\vec{n}
[/mm]
und am Ende normierst du den Normalenvekor, indem du mit dem Faktor [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}} [/mm] multiplizierst. Dann solltest du auf das gewünschte Ergebnis kommen.
Gruß, Diophant
PS: ist heuer 'Blind-Losrechen-Woche'?
|
|
|
| |
|
Hallo,
für P musst du in Ermangelung einer Alternative den Mittelpunkt zwischen A und B nehmen. Den bekommst du bspw. so:
[mm] \vec{m}=\vec{a}+\bruch{1}{2}\overrightarrow{AB}
[/mm]
Und der Rest scheint dir ja jetzt klarer geworden zu sein. Am Ende das Normieren nicht vergessen!
Gruß, Diophant
|
|
|
|
