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| Aufgabe | Gegeben ist ein Würfel der Kantenlänge 4 durch die Ecken A(0/0/0) und G(4/4/4).
Hinweis: Die Ecken aller grau unterlegter Vielecke haben nur ganzzahlige Koordinaten.
a) Bestimmen Sie je eine Gleichung der Ebene E, in der das grau unterlegte Sechseck liegt, in Parameter- und Normalenform.
( Kontrollergebnis: E: [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} [/mm] = 6 )
b) Berechnen sie den Abstand der Ebene E vm Ursprung und ermitteln Sie die Größe des Winkels, den die Ebene E und die x1-x2- Ebene einschließen. |
Könnt ihr mir bitte einen Lösungsweg vorschlagen? Oder wenn jemand lust hat kann er die Aufgabe ja auch mal durchrechnen =). Die Abstandsberechnung ist sicherlich kein problem aber ich weiß nicht wie ich die Ebene aufstellen soll bzw den Winkel berechne...
Achso wenn sich jemand das Gebilde nicht vorstellen kann: so sieht es aus: http://www.math.uni-bielefeld.de/~ringel/puzzle/puzzle03/bilder/sechseck.gif wobei die Ecke A den Origo bildet und die Ecke G die diagonal nach ben gerichtete Ecke darstellt.
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> Gegeben ist ein Würfel der Kantenlänge 4 durch die Ecken
> A(0/0/0) und G(4/4/4).
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> Hinweis: Die Ecken aller grau unterlegter Vielecke haben
> nur ganzzahlige Koordinaten.
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> a) Bestimmen Sie je eine Gleichung der Ebene E, in der das
> grau unterlegte Sechseck liegt, in Parameter- und
> Normalenform.
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> ( Kontrollergebnis: E: [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} = 6[/mm] )
>
> b) Berechnen sie den Abstand der Ebene E vm Ursprung und
> ermitteln Sie die Größe des Winkels, den die Ebene E und
> die x1-x2- Ebene einschließen.
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> Könnt ihr mir bitte einen Lösungsweg vorschlagen? Oder wenn
> jemand lust hat kann er die Aufgabe ja auch mal
> durchrechnen =). Die Abstandsberechnung ist sicherlich kein
> problem aber ich weiß nicht wie ich die Ebene aufstellen
> soll bzw den Winkel berechne...
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> Achso wenn sich jemand das Gebilde nicht vorstellen kann:
> so sieht es aus:
> http://www.math.uni-bielefeld.de/~ringel/puzzle/puzzle03/bilder/sechseck.gif
> wobei die Ecke A den Origo bildet und die Ecke G die
> diagonal nach ben gerichtete Ecke darstellt.
Da in der Figur gar nicht angegeben ist, welche Ecken
mit O und G genau gemeint sind, hätte man eigentlich
verschiedene Wahlmöglichkeiten.
Ausserdem ist die Lage eines Würfels keineswegs festgelegt,
wenn man die Koordinaten zweier diagonal gegenüber
liegender Ecken kennt.
Auch die Lage des punktierten Sechsecks ist nicht klar
festgelegt. Auch mit der zusätzlichen Angabe, dass alle
seine Ecken ganzzahlige Koordinaten haben, ergeben
sich nämlich noch verschiedene Möglichkeiten. Vielleicht
waren die irgendwann auch mal noch gemeint, denn
es steht ja da etwas von "allen grau unterlegten
Vielecken" ...
Wenn wir grosszügig über diese Mängel der Aufgaben-
stellung hinweg sehen und versuchen, die Aufgabe so zu
interpretieren wie sie wahrscheinlich gemeint war, dann
betrachten wir den Würfel der Kantenlänge 4, der sich
im Oktanten mit [mm] x\ge [/mm] 0, y [mm] \ge [/mm] 0, [mm] z\ge [/mm] 0 befindet und alle
drei Koordinatenebenen mit je einer Seitenfläche berührt.
Die Eckpunkte des Sechsecks sind Kantenmittelpunkte
des Würfels, und das Sechseck ist regelmässig.
Um jetzt eine Parametergleichung der Sechseckebene
aufzustellen, kannst du zunächst das Koordinatensystem
einzeichnen (am besten in der ersten Figur), drei seiner
Eckpunkte auswählen und dann in der gewohnten Weise
vorgehen. Dann die Parameter eliminieren, um zur
Normalenform zu kommen.
(Es gäbe allerdings eine Möglichkeit, mittels geometrischer
Betrachtung auch kürzer zur Ebenengleichung in
Normalenform zu kommen ...)
Zur Winkelberechnung:
Der Winkel zwischen zwei Ebenen ist gleich dem
Winkel zwischen ihren Normalen.
LG
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