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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 So 05.10.2008 | | Autor: | raida |
| Aufgabe | 1. Bestimmung der Gleichungen aller Ebenen, die von E den Abstand 2 haben.
E: x1 + 2x2 -2x3 =3
2. Bestimmung aller Punkte die in der Ebene E1 liegen und den Abstand 3 von E2 haben.
E1: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1} [/mm] + [mm] s\vektor{1 \\ 3 \\ 1} [/mm] + [mm] t\vektor{2 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
E2: 2x1 +6x2 -3x3 = 7
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Hallo,
hab diese 2 Aufgaben zwar gelöst, aber weiß nicht ob ich das richtig verstanden habe, deswegen poste ich mal meine Lösungen, und wenn ich alles oder teilweise etwas falsch gemacht habe dann bitte korrigieren:) Danke!
zu 1.
Hessesche Normalenform:
[mm] \bruch{x1 + 2x2 -2x3 -3}{\wurzel{1+4+4}} [/mm] = [mm] \bruch{x1 + 2x2 -2x3 -3}{3} [/mm] = 0
d(E;E) = 2
[mm] \bruch{x1 + 2x2 -2x3 -3}{3} [/mm] = 2
x1 + 2x2 -2x3 -3 = 6
x1 + 2x2 -2x3 -9 =0 -->Ebene 2
______________________________
zu 2.
Hessesche Normalenform von E2:
[mm] \bruch{2x1 +6x2 -3x3 -7 }{7} [/mm] = 0
Abstand d=2:
[mm] \bruch{2x1 +6x2 -3x3 -7 }{7} [/mm] = 2
Einsetzen des Aufpunktvektor und der beiden Richtungsvektoren s*r1 +t*r2:
Aufpunktvektor:
[mm] \bruch{4+0-3-7}{7} [/mm] = 2
[mm] \bruch{-6}{7} [/mm] = 2 -->Falschaussage
Gleiches vorgehen mit den Richtungsvektoren
Lösung: s= 1 + [mm] \bruch{4}{17}
[/mm]
Also Punkt P: (1 + [mm] \bruch{4}{17}) [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 1}
[/mm]
Das gleiche habe ich mit dem r2 gemacht.
Hier bin ich mir allerdings sehr unsicher.
Vielen Dank für eure Hilfe!!!
Gruß
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Hallo raida,
> 1. Bestimmung der Gleichungen aller Ebenen, die von E den
> Abstand 2 haben.
> E: x1 + 2x2 -2x3 =3
>
> 2. Bestimmung aller Punkte die in der Ebene E1 liegen und
> den Abstand 3 von E2 haben.
>
> E1: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 1}[/mm] + [mm]s\vektor{1 \\ 3 \\ 1}[/mm]
> + [mm]t\vektor{2 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> E2: 2x1 +6x2 -3x3 = 7
>
> Hallo,
> hab diese 2 Aufgaben zwar gelöst, aber weiß nicht ob ich
> das richtig verstanden habe, deswegen poste ich mal meine
> Lösungen, und wenn ich alles oder teilweise etwas falsch
> gemacht habe dann bitte korrigieren:) Danke!
>
> zu 1.
>
> Hessesche Normalenform:
>
> [mm]\bruch{x1 + 2x2 -2x3 -3}{\wurzel{1+4+4}}[/mm] = [mm]\bruch{x1 + 2x2 -2x3 -3}{3}[/mm]
> = 0
>
> d(E;E) = 2
>
> [mm]\bruch{x1 + 2x2 -2x3 -3}{3}[/mm] = 2
>
> x1 + 2x2 -2x3 -3 = 6
>
> x1 + 2x2 -2x3 -9 =0 -->Ebene 2
>
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Wo ist die Ebene 1?
> ______________________________
>
> zu 2.
>
> Hessesche Normalenform von E2:
>
> [mm]\bruch{2x1 +6x2 -3x3 -7 }{7}[/mm] = 0
>
> Abstand d=2:
>
> [mm]\bruch{2x1 +6x2 -3x3 -7 }{7}[/mm] = 2
>
> Einsetzen des Aufpunktvektor und der beiden
> Richtungsvektoren s*r1 +t*r2:
>
> Aufpunktvektor:
>
> [mm]\bruch{4+0-3-7}{7}[/mm] = 2
> [mm]\bruch{-6}{7}[/mm] = 2 -->Falschaussage
>
> Gleiches vorgehen mit den Richtungsvektoren
> Lösung: s= 1 + [mm]\bruch{4}{17}[/mm]
> Also Punkt P: (1 + [mm]\bruch{4}{17})[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ 3 \\ 1}[/mm]
>
> Das gleiche habe ich mit dem r2 gemacht.
>
> Hier bin ich mir allerdings sehr unsicher.
Aus der Ebene E1 folgen unmittelbar die Darstellungen
[mm]x_{1}=\dots + s * \dots + t* \dots[/mm]
[mm]x_{2}=\dots + s * \dots + t* \dots[/mm]
[mm]x_{3}=\dots + s * \dots + t* \dots[/mm]
Diese setzt Du in diese Gleichung ein:
[mm]\bruch{2*x_{1}+6*x_{2}-3*x_{3}-7}{7}=\pm 3[/mm]
Hieraus erhältst Du dann eine Bedingungsgleichung, die die Variablen s,t erfüllen müssen.
Daher kannst Du eine Variable (z.B. s) in Abhängigkeit von der anderen Variable (z.B. t) setzen.
Diese Abhängigkeit setzt Du nun in die Ebenengleichung E1 ein.
>
> Vielen Dank für eure Hilfe!!!
>
> Gruß
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 So 05.10.2008 | | Autor: | raida |
1. Ebene 1 ist doch in der Aufgabe gegeben
2. Also bei mir entsteht da ein unglaublich komplizierter Term und am Ende kommt z.B. x1 = 18/23 + (1+ 13/23)t
heraus, also keine Koordinate sondern von t abhängige Koordinate. Mache ich was falsch?
Danke!
Gruß
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Hallo raida,
> 1. Ebene 1 ist doch in der Aufgabe gegeben
Ich meinte die zweite Ebene, die von der gegebenen Ebene den Abstand 2 hat.
[mm] \bruch{x1 + 2x2 -2x3 -3}{3} = \blue{-}2[/mm]
>
> 2. Also bei mir entsteht da ein unglaublich komplizierter
> Term und am Ende kommt z.B. x1 = 18/23 + (1+ 13/23)t
> heraus, also keine Koordinate sondern von t abhängige
> Koordinate. Mache ich was falsch?
Das kann ich nicht sagen, denke aber mal nein.
Poste doch mal den Rechenweg bis hierhin.
>
> Danke!
>
> Gruß
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 So 05.10.2008 | | Autor: | raida |
Rechenweg:
x1 = 2 + s +2t
x2 = 0 + 3s +t
x3 = 1 + s
dann hab ich x1,x2,x3 hier eingesetzt:
$ [mm] \bruch{2\cdot{}x_{1}+6\cdot{}x_{2}-3\cdot{}x_{3}-7}{7}=\pm [/mm] 3 $
und nach s aufgelöst:
s= [mm] \bruch{-7\pm 21 -10t}{23}
[/mm]
Dann hab ich s in die Ebenengleichung E1 eingesetzt, so dass s eliminiert ist. t bleibt allerdings übrig.
______
Noch eine Frage und zwar soll ich einen Punkt P an der Ebene E spiegeln. Ich habe den Abstand ausgerechnet, der beträgt -2 Einheiten. Muss ich jetzt beim Punkt P von jeder Koordinate diese 2 Einheiten abziehen, d.h.
P (1/-1/2)
P' (1-(-2)/-1-(-2)/2-(-2))
?
Vielen Dank!
Gruß
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Hallo raida,
> Rechenweg:
> x1 = 2 + s +2t
> x2 = 0 + 3s +t
> x3 = 1 + s
>
> dann hab ich x1,x2,x3 hier eingesetzt:
>
> [mm]\bruch{2\cdot{}x_{1}+6\cdot{}x_{2}-3\cdot{}x_{3}-7}{7}=\pm 3[/mm]
>
> und nach s aufgelöst:
>
> s= [mm]\bruch{-7\pm 21 -10t}{23}[/mm]
Das musst noch mal nachrechnen.
>
> Dann hab ich s in die Ebenengleichung E1 eingesetzt, so
> dass s eliminiert ist. t bleibt allerdings übrig.
>
> ______
>
> Noch eine Frage und zwar soll ich einen Punkt P an der
> Ebene E spiegeln. Ich habe den Abstand ausgerechnet, der
> beträgt -2 Einheiten. Muss ich jetzt beim Punkt P von jeder
> Koordinate diese 2 Einheiten abziehen, d.h.
>
> P (1/-1/2)
> P' (1-(-2)/-1-(-2)/2-(-2))
> ?
Das hängt vom Normalenvektor der Ebene ab.
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 So 05.10.2008 | | Autor: | raida |
"Das hängt vom Normalenvektor der Ebene ab."
Wie meinst du das?
Sorry, aber vestehe nicht wie genau das mit dem Normalenvektor zusammenhängen soll.
Danke!
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:53 So 05.10.2008 | | Autor: | leduart |
hallo
Du musst in Richtung des Normalenvektors von P weggehen, d.h. was du vorgeschlagen hast ist falsch!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 So 05.10.2008 | | Autor: | raida |
Und wie muss ich dann vorgehen:)?
Muss ich den Abstand d dann berechnen?
Dann vom Normalenvektor abziehen?
Tut mir Leid, aber hab grad gar keine Ahnung.
Gruß
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Hallo raida,
> Und wie muss ich dann vorgehen:)?
>
>
> Muss ich den Abstand d dann berechnen?
> Dann vom Normalenvektor abziehen?
Ist die Ebene in der Form
[mm]E:\left(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}\right)\overrightarrow{n}=0[/mm]
gegeben.
Dann bildest Du die Gerade
[mm]g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OP}+\lambda\overrightarrow{n}[/mm]
Dann schneidest Du die Gerade g mit der Ebene E und Du erhältst den Parameter [mm]\lambda[/mm]
Somit hast Du den Lotfußpunkt auf der Ebene E.
Den Spiegelpunkt erhältst Du, wenn Du dasselbe nochmal hinzuaddierst:
[mm]\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2*\lambda\overrightarrow{n}[/mm]
>
> Tut mir Leid, aber hab grad gar keine Ahnung.
> Gruß
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 So 05.10.2008 | | Autor: | raida |
Hallo, oke danke so habe ich es verstanden, bloß leider ist die Ebene E in der Koordinatenform gegeben:
E: 2x1 + 6x2 - 9x3 =0
P(1/-1/2)
Die Gerade kann ich bilden, allerdings kann ich nicht mit E schneiden, da mir für die Normalenform [mm] \vec{x} [/mm] und c fehlt.
[mm] \vektor{2 \\ 6 \\ -9} [/mm] * [mm] \vec{x} [/mm] -c =0
Danke!
Gruß
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Hallo raida,
> Hallo, oke danke so habe ich es verstanden, bloß leider ist
> die Ebene E in der Koordinatenform gegeben:
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> E: 2x1 + 6x2 - 9x3 =0
> P(1/-1/2)
>
> Die Gerade kann ich bilden, allerdings kann ich nicht mit E
> schneiden, da mir für die Normalenform [mm]\vec{x}[/mm] und c
> fehlt.
>
> [mm]\vektor{2 \\ 6 \\ -9}[/mm] * [mm]\vec{x}[/mm] -c =0
x ist hier ein Punkt auf der Ebene, und c ist hier 0.
>
> Danke!
> Gruß
>
Gruß
MathePower
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