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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:22 Fr 04.06.2010 | | Autor: | m0ppel |
| Aufgabe | Es seien (X,d) ein metrischer Raum, [mm] x\in [/mm] X und A [mm] \subset [/mm] X eine Teilmenge. Der Abstand von x zu A ist
dist(x,A) := inf [mm] \{d(x,y)|y \in A \} [/mm]
Beweisen Sie folgende Aussage:
Wenn A abgeschlossen ist, dann gilt: dist(x,A)=0 [mm] \gdw [/mm] x [mm] \subset [/mm] A
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Um zu zeigen, dass dies gilt, muss ich beide Richtungen der Äquivalenz zeigen.
Zuerst zeige ich:
[mm] "\Leftarrow [/mm] " Wenn x [mm] \subset [/mm] A ist, dann gilt [mm] inf \{d(x,y)|y \in A \} [/mm] wird 0, da gilt : [mm] d(x,y)=0 \gdw x=y [/mm]
ALso bleibt nur noch die andere Richtung zu zeigen, oder hab ich mir das hier zu einfach gemacht, weil ich ja nicht A abgeschlossen gebraucht habe?
Warum könnte ich das bei einer offenen Menge nicht einfach so sagen? Wie hab ich es mir da vorzustellen?
[mm] "\Rightarrow [/mm] " hier ist ja im Prinzip das gleiche.
dist(x,A)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] inf [mm] \{d(x,y)|y \in A \} [/mm] =0 [mm] \Rightarrow [/mm] d(x,y) =0 [mm] \Rightarrow [/mm] x=y [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \subset [/mm] A
Ist das so richtig?
Wo muss ich denn beachten, dass A abgeschlossen ist?
Vielen Dank schon mal!
Lg
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Hi,
> Es seien (X,d) ein metrischer Raum, [mm]x\in[/mm] X und A [mm]\subset[/mm] X
> eine Teilmenge. Der Abstand von x zu A ist
> dist(x,A) := inf [mm]\{d(x,y)|y \in A \}[/mm]
> Beweisen Sie folgende Aussage:
> Wenn A abgeschlossen ist, dann gilt: dist(x,A)=0 [mm]\gdw[/mm] x
> [mm]\subset[/mm] A
> Um zu zeigen, dass dies gilt, muss ich beide Richtungen der
> Äquivalenz zeigen.
> Zuerst zeige ich:
> [mm]"\Leftarrow[/mm] " Wenn x [mm]\subset[/mm] A ist, dann gilt [mm]inf \{d(x,y)|y \in A \}[/mm]
> wird 0, da gilt : [mm]d(x,y)=0 \gdw x=y[/mm]
stimmt schon, nur bei der Rückrichtung hast Du einen Denkfehler drin...
> ALso bleibt nur noch die andere Richtung zu zeigen, oder
> hab ich mir das hier zu einfach gemacht, weil ich ja nicht
> A abgeschlossen gebraucht habe?
> Warum könnte ich das bei einer offenen Menge nicht einfach
> so sagen? Wie hab ich es mir da vorzustellen?
>
> [mm]"\Rightarrow[/mm] " hier ist ja im Prinzip das gleiche.
> dist(x,A)=0 [mm]\Rightarrow[/mm] inf
> [mm]\{d(x,y)|y \in A \}[/mm] =0 [mm]\Rightarrow[/mm] d(x,y) =0 [mm]\Rightarrow[/mm]
> x=y [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\subset[/mm] A
>
> Ist das so richtig?
nein, denn aus $inf [mm] \{d(x,y)|y \in A \}=0$ [/mm] folgt keineswegs [mm] $\exists [/mm] \ y [mm] \in [/mm] A$ mit $d(x,y) = 0$ sondern eben nur, dass Du beliebig nahe drankommst! Tipp: wäre A offen würde für die Randpunkte $dist=0$ gelten!
> Wo muss ich denn beachten, dass A abgeschlossen ist?
>
> Vielen Dank schon mal!
> Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Fr 04.06.2010 | | Autor: | m0ppel |
Warum muss dafür A offen sein, damit dist(x,A)=0 ist?
Wenn A abgeschlossen ist, dann ist der Rand in A ja enthalten und wenn dann x [mm] \subset \partial [/mm] A dann gilt doch auch dist(x,A)=0!?
Kannst du mir das bitte anschaulich mal erklären, wo jetzt mein Denkfehler liegt?
> Tipp: wäre A offen würde für
> die Randpunkte [mm]dist=0[/mm] gelten!
>
> > Wo muss ich denn beachten, dass A abgeschlossen ist?
> >
> > Vielen Dank schon mal!
> > Lg
Danke schon mal!
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Mein Tipp sollte nur zeigen, dass die Äquivalenz nicht gilt, wenn $A$ nicht abgeschlossen ist. Dann gibt es nämlich auch Punkte $x$ außerhalb von $A$ (Randpunkte) für die $dist(x,A)=0$ gilt. (btw, aus nicht abgeschlossen folgt im allgemeinen keineswegs offen! Das ist wie mit Türen, können abgeschlossen und offen oder nichtabgeschlossen und nicht offen sein ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Sa 05.06.2010 | | Autor: | m0ppel |
Ich habe mich noch mal etwas belesen und den Satz gefunden:
"Es gibt einen Punkt w außerhalb der echten Teilmenge U. Da U abgeschlossen ist, muss der Abstand von w zu U positiv sein"
Das heißt doch, dass wenn wäre U offen, dann könnte der Abstand auch negativ sein, oder?
Das würde für mich ja bedeuten:
" [mm] \Rightarrow [/mm] " dist(x,A)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] inf [mm] \{ d(x,y)|y \subset A \} [/mm] =0, da A abfgeschlossen, gilt dist(x,A) [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] inf [mm] \{ d(x,y)|y \subset A \} [/mm] =0 [mm] \gdw [/mm] d(x,y) =0 [mm] \gdw [/mm] x=y [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \subset [/mm] A
Ist das so richtig?
Danke schon mal!
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Nein, unter einem Abstand versteht man ja meistens eine Norm und die hat immer die Eigenschaft der Positivität, ist also größer oder gleich $0$.
Ich bin mir nicht ganz sicher, ob Du schon verstanden hast, was genau abgeschlossen und offen eigentlich heißt, wie genau habt ihr das definiert?
Was Du hier zitierst ist im mathematischen Sinn ja auch kein Satz, sonder eine Schlussfolgerung.
Man könnte das so formulieren:
Wenn [mm] $U\subset [/mm] X, [mm] U\neq [/mm] X$ abgeschlossen, gilt $dist(x,U)> 0$ für alle [mm] $x\in U^C$
[/mm]
Beachte insbesondere $>$ der Abstand kann nämlich nie null werden!
Wäre $U$ aber offen haben alle Randpunkte die Eigenschaft $dist(x,U)=0$, liegen aber trotzdem nicht in der Menge $U$.
Deiner Argumentation konnte ich nicht ganz folgen, drehst Du Dich nicht an einer Stelle sogar im Kreis? Du hast doch zweimal
$inf [mm] \{ d(x,y) \quad | \quad y \in A \} [/mm] =0$
geschlossen! Warum sollte
$inf [mm] \{ d(x,y) \quad | \quad y \in A \} [/mm] = 0 [mm] \qquad \gdw \qquad [/mm] d(x,y) = 0$
gelten? was ist dein $y$? Wie wäre es mit einem Widerspruchsbeweis, angenommen der Abstand wäre $0$ aber $x$ nicht aus $A$...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:16 Sa 05.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe mich noch mal etwas belesen und den Satz
> gefunden:
> "Es gibt einen Punkt w außerhalb der echten Teilmenge U.
> Da U abgeschlossen ist, muss der Abstand von w zu U positiv
> sein"
was liest Du da und worauf soll sich diese Aussage beziehen?
> Das heißt doch, dass wenn wäre U offen, dann könnte der
> Abstand auch negativ sein, oder?
Nein, eine Metrik hat stets die Eigenschaft, dass nur Werte [mm] $\ge [/mm] 0$ angenommen werden. Daher wird auch [mm] $\text{dist}(x,A) \ge [/mm] 0$ sein, egal, ob [mm] $A\,$ [/mm] offen, abgeschlossen oder was auch immer (es gibt auch Mengen, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind!). Denn das Infimum gebildet über eine Menge, die nur Zahlen [mm] $\ge [/mm] 0$ enthält, kann auch nur [mm] $\ge [/mm] 0$ sein. (Beweis?)
> Das würde für mich ja bedeuten:
> " [mm]\Rightarrow[/mm] " dist(x,A)=0 [mm]\Rightarrow[/mm] inf [mm]\{ d(x,y)|y \subset A \}[/mm] > =0,
--
> da A abgeschlossen, gilt dist(x,A) [mm]\ge[/mm] 0 [mm]\Rightarrow[/mm]
> inf [mm]\{ d(x,y)|y \subset A \}[/mm] =0 ...
--
Nein, denn das, was Du eigentlich begründen sollst, benutzt Du in Deiner Begründung, ohne es zu begründen 
Mach' es z.B. so:
Ist $x [mm] \in [/mm] A$, so ist nichts zu zeigen. Sei also $x [mm] \notin A\,.$
[/mm]
Sei [mm] $\text{dist}(x,A)=0\,.$ [/mm] Weil [mm] $\text{dist}(x,A)=\text{inf}\{d(x,a): a \in A\}=:D$ [/mm] ist, existiert eine Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] in [mm] $A\,$ [/mm] mit [mm] $d(x,a_n) \to D=0\,.$
[/mm]
(Denn: Wir nehmen ein $a [mm] \in [/mm] A$ und setzen [mm] $a_1:=a\,.$ [/mm] Dann finden wir ein [mm] $a_2 \in [/mm] A$ mit $0=D < [mm] d(x,a_2) [/mm] < [mm] \text{min}\{d(x,a_1),\;D+1/1\}=\text{min}\{d(x,a_1),\;1/1\}$ [/mm] nach Definition von [mm] $D\,$ [/mm] (bzw. des Begriffes "Infimum"), auch unter Beachtung, dass wegen $x [mm] \notin [/mm] A$ hier dieses Infimum kein Minimum ist.
So konstruieren wir induktiv eine Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] in [mm] $A\,$ [/mm] mit $0=D < [mm] d(x,a_n) [/mm] < [mm] \text{min}\{d(x,a_{n-1}),\;D+1/(n-1)\}=\text{min}\{d(x,a_{n-1}),\;1/(n-1)\} \le 1/(n-1)\,,$ [/mm] $n [mm] \ge 2\,.$)
[/mm]
Das bedeutet aber:
[mm] $(a_n)_n$ [/mm] ist Folge in [mm] $A\,,$ [/mm] die gegen $x [mm] \in [/mm] X$ konvergiert.
(Es gilt [mm] $d(x,a_n) \to [/mm] D=0$ nach dem Einschließkriterium!)
Und jetzt benutzt Du die Abgeschlossenheit von [mm] $A\,$ [/mm] und erkennst?
Beste Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 Sa 05.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es seien (X,d) ein metrischer Raum, [mm]x\in[/mm] X und A [mm]\subset[/mm] X
> eine Teilmenge. Der Abstand von x zu A ist
> dist(x,A) := inf [mm]\{d(x,y)|y \in A \}[/mm]
> Beweisen Sie folgende Aussage:
> Wenn A abgeschlossen ist, dann gilt: dist(x,A)=0 [mm]\gdw[/mm] x
> [mm]\red{\subset}[/mm] A
das macht so keinen Sinn, da $A [mm] \subset [/mm] X$ und $x [mm] \blue{\in} [/mm] X$ ist. Wäre $x [mm] \subset [/mm] A$, so wäre [mm] $x\,$ [/mm] ja selbst eine Teilmenge von [mm] $X\,,$ [/mm] es ist aber [mm] $x\,$ [/mm] ein Element von [mm] $X\,.$
[/mm]
Also, die zu beweisende Aussage muss lauten:
[mm] $$\text{dist}(x,A)=0 \gdw [/mm] x [mm] \blue{\in} A\,.$$
[/mm]
(Man könnte höchstens, unnötigerweise, auch schreiben:
[mm] $$\text{dist}(x,A)=0 \gdw \{x\} \subset A\,.$$
[/mm]
Dies ist wegen $x [mm] \in [/mm] A [mm] \gdw \{x\} \subset [/mm] A$ klar. Aber es bringt keine wirklich interessante oder neue Erkenntnis.)
Beste Grüße,
Marcel
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