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| Aufgabe | (a)
Zeigen sie, dass für die absolute Kondition der Funktion f = g+h die Abschätzung
[mm] k_{abs}(f,x) \le k_{abs}(h,x) [/mm] + [mm] k_{abs}(g,x) [/mm] gilt.
(b)
Verwenden Sie dieses Resultat, um die absolute und die relative Kondition der Auswertung von f(x) = [mm] x^{5} [/mm] + [mm] |x^{3}| [/mm] abzuschätzen.
(c)
Berechnen Sie zudem die absolute und die relative Kondition der Auswertung von f(x) = [mm] sin^{2}(x) [/mm] + [mm] cos^{2}(x) [/mm] in x=0. |
Also ich habe mich mal mit diesen Aufgaben beschäftigt und würde mich freuen, wenn sich jemand einmal meine Ergebnisse anschauen kann. Oder mir im Fall von (b) einen Tipp geben könnte.
(a)
f(x) = g(x) + h(x)
1. Fall
g, h diff´bar, dann [mm] k_{abs} [/mm] = | f´(x) |
[mm] \Rightarrow k_{abs}(f,x) [/mm] = | f´(x) | = | g´(x) + h´(x) | [mm] \le [/mm] | g´(x) | + | h´(x) | = [mm] k_{abs}(g,x) [/mm] + [mm] k_{abs}(h,x)
[/mm]
2.Fall
g,h nicht diff´bar, dann | [mm] f(x_{0})-f(x) [/mm] | [mm] \le k_{abs}|x_{0}-x| [/mm] + [mm] \landau(|x_{0}-x|)
[/mm]
[mm] \Rightarrow |f(x_{0})-f(x)| \le k_{abs}(g,x_{0}) [/mm] - [mm] \landau(|x_{0}-x|) [/mm] + [mm] k_{abs}(h,x_{0}) [/mm] - [mm] \landau(|x_{0}-x|) \le k_{abs}(g,x_{0}) [/mm] + [mm] k_{abs}(h,x_{0}) [/mm] - 2 [mm] \landau(|x_{0}-x|)
[/mm]
(b)
Da hab ich nicht so den richtigen Ansatz gefunden. Ich weiß das ich abschätzen soll, ab das war noch die mein Ding.
f(x) = g(x) + h(x)
f(x) = [mm] x^{5} [/mm] + [mm] |x^{3}|
[/mm]
g,h diff´bar
Also wende ich den 1.Fall aus (a) an.
[mm] k_{abs}(f,x) [/mm] = | f´(x) | [mm] \le [/mm] |g´(x)| + |h´(x)|
1. Fall
[mm] k_{abs}(f,x) \le |5x^{4}| [/mm] + [mm] 3x^{2}
[/mm]
2. Fall
[mm] k_{abs}(f,x) \le |5x^{4}| [/mm] - [mm] 3x^{2}
[/mm]
Und nun? Vielleicht ist das ja auch schon falsch.
(c)
Hier habe ich auch gerechnet. Glaube aber nicht das mein berechnetes Ergebnis für die absolute Kondition so richtig ist.
f(x) = [mm] sin^{2}(x) [/mm] + [mm] cos^{2}(x) [/mm] in x=0
h(x) = [mm] sin^{2}(x) [/mm] mit [mm] h_{1}=x^{2} [/mm] und [mm] h_{2}=sin
[/mm]
g(x) = [mm] cos^{2}(x) [/mm] mit [mm] g_{1}=x^{2} [/mm] und [mm] g_{2}=cos
[/mm]
[mm] k_{abs}(h,x) [/mm] = | h´(x) | = [mm] |h_{1}(h_{2}(x))´||h_{2}(x)´| [/mm] = |2sin(x)||cos(x)| = |2*0||1| = 0
[mm] k_{abs}(g,x) [/mm] = | g´(x) | = [mm] |g_{1}(g_{2}(x))´||g_{2}(x)´| [/mm] = |2cos(x)||-sin(x)| = |2*1||0| = 0
Ich hab hier mit den entsprechenden Ableitungen gerechnet. Leider kann ich die entsprechenden stellen nicht visuell darstellen.
[mm] \Rightarrow k_{abs}(f,x) \le [/mm] 0
Würde mich über hilfreiche Tipps und Vorschläge freuen.
Danke!
Stephanie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:41 Sa 08.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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