Absolute Integrierbarkeit < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:19 Do 18.09.2014 | | Autor: | Saschka |
Hallo,
ich muss zeigen, dass F(y) = [mm] \bruch{1-\cos (Ky)}{y^2} [/mm] + i [mm] \bruch{\sin (Ky) - Ky}{y^2} [/mm] für ein K>0 absolut integrierbar ist, d.h. [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{ | F(y) | dy}<\infty [/mm] .
Da | F(y) [mm] |=\wurzel{a^2 +b^2}\le [/mm] |a|+|b| für [mm] a:=\bruch{1-\cos (Ky)}{y^2} [/mm] und [mm] b:=\bruch{\sin (Ky) - Ky}{y^2}, [/mm] denke ich, es wird genug die absolute Int'barkeit von a und b zu zeigen.
Mit dem ersten Term habe ich soweit kein Problem, mit dem zweiten schon. Meine Rechnung:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{ | \bruch{\sin (Ky) - Ky}{y^2} | dy}=K\integral_{-\infty}^{\infty}{ \bruch{|\sin (z) - z|}{z^2} dz}=2K\integral_{-\infty}^{0}{ \bruch{\sin (z) - z}{z^2} dy}, [/mm] falls [mm] \integral_{-\infty}^{0}{ \bruch{\sin (z) - z}{z^2} dy} [/mm] existiert.
Weiter klappt bei mir leider gar nichts vernünftiges. Kann mir jemand einen Tipp geben??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:37 Do 18.09.2014 | | Autor: | hippias |
> Hallo,
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> ich muss zeigen, dass F(y) = [mm]\bruch{1-\cos (Ky)}{y^2}[/mm] + i
> [mm]\bruch{\sin (Ky) - Ky}{y^2}[/mm] für ein K>0 absolut
> integrierbar ist, d.h. [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{ | F(y) | dy}<\infty[/mm]
> .
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> Da | F(y) [mm]|=\wurzel{a^2 +b^2}\le[/mm] |a|+|b| für
> [mm]a:=\bruch{1-\cos (Ky)}{y^2}[/mm] und [mm]b:=\bruch{\sin (Ky) - Ky}{y^2},[/mm]
> denke ich, es wird genug die absolute Int'barkeit von a und
> b zu zeigen.
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> Mit dem ersten Term habe ich soweit kein Problem, mit dem
> zweiten schon. Meine Rechnung:
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> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{ | \bruch{\sin (Ky) - Ky}{y^2} | dy}=K\integral_{-\infty}^{\infty}{ \bruch{|\sin (z) - z|}{z^2} dz}=2K\integral_{-\infty}^{0}{ \bruch{\sin (z) - z}{z^2} dy},[/mm]
> falls [mm]\integral_{-\infty}^{0}{ \bruch{\sin (z) - z}{z^2} dy}[/mm]
> existiert.
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> Weiter klappt bei mir leider gar nichts vernünftiges. Kann
> mir jemand einen Tipp geben??
Wenn das Vernueftige versagt, muss die Unvernunft herhalten 
Ich glaube das Integral ist nicht konvergent, aufgrund folgender Veranschaulichung: [mm] $\integral_{-\infty}^{0}{\bruch{\sin (z) - z}{z^2} dz}\approx [/mm] M+ [mm] \integral_{-\infty}^{-1}{ \bruch{- z}{z^2} dz}= [/mm] M+ [mm] \integral_{1}^{\infty}{ \bruch{1}{z} dz}$
[/mm]
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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