Abschluss einer Menge < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:09 So 07.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
Ich hab eine Frage zu dem Abschluss der Menge, und zwar haben wir diesen wie folgt definiert: Sei (X,d) metrischer Raum und M [mm] \subseteq [/mm] X, dann ist [mm] \overline{M}= [/mm] M [mm] \cup \{x: x ist Häufungspunkt von M\}. [/mm] Nun wurde gesagt, der Abschluss selbst wäre abgeschlossen (sprich jeder Punkt der Menge [mm] \overline{M} [/mm] wäre Häufungspunkt)??, und das kann ich mir leider nich so recht vorstellen, wenn ich mir folgendes Bsp. betrachte:
[mm] X=\IR [/mm] und M:=[0,1) [mm] \cup \{5\}. [/mm] Diese Menge M wäre weder offen (,da 0 kein innerer Punkt ist) noch abgeschlossen (,da 5 kein Häufungspunkt ist und 1 zwar Häufungspunkt ist, aber nicht in M liegt). Wenn ich nun den Abschluss der Menge M bilde müsste dieser meiner Meinung nach dann so aussehen: [mm] \overline{M}= [/mm] [0,1] [mm] \cup \{5\}. [/mm] Aber wieso sollte diese Menge abgeschlossen sein, ich sehe nich, wieso 5 plötzlich ein Häufungspunkt sein sollte?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:22 So 07.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> Ich hab eine Frage zu dem Abschluss der Menge, und zwar
> haben wir diesen wie folgt definiert: Sei (X,d) metrischer
> Raum und M [mm]\subseteq[/mm] X, dann ist [mm]\overline{M}=[/mm] M [mm]\cup \{x: x ist Häufungspunkt von M\}.[/mm]
> Nun wurde gesagt, der Abschluss selbst wäre abgeschlossen
>
> (sprich jeder Punkt der Menge [mm]\overline{M}[/mm] wäre
> Häufungspunkt)??,
Das ist eine Fehlinterpretation !
Richtig: jeder Punkt von [mm]\overline{M}[/mm] ist ein Berührpunkt von M
FRED
> und das kann ich mir leider nich so recht
> vorstellen, wenn ich mir folgendes Bsp. betrachte:
> [mm]X=\IR[/mm] und M:=(0,1) [mm]\cup \{5\}.[/mm] Diese Menge M wäre weder
> offen (,da 0 und 1 keine inneren Punkte sind) noch
> abgeschlossen (,da 5 kein Häufungspunkt ist). Wenn ich nun
> den Abschluss der Menge M bilde müsste dieser meiner
> Meinung nach dann so aussehen: [mm]\overline{M}=[/mm] [0,1] [mm]\cup \{5\}.[/mm]
> Aber wieso sollte diese Menge abgeschlossen sein, ich sehe
> nich, wieso 5 plötzlich ein Häufungspunkt sein sollte?
>
> Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 So 07.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Berührpunkte haben wir leider nicht definiert, wir haben lediglich gesagt: Eine Menge M ist abgeschlossen, wenn jeder Häufungspunkt in der Menge liegt...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:34 So 07.06.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berührpunkte haben wir leider nicht definiert, wir haben
> lediglich gesagt: Eine Menge M ist abgeschlossen, wenn
> jeder Häufungspunkt in der Menge liegt...
das ist auch okay. Du hattest doch geschrieben
[mm] $$(\star)\;\;\;\overline{M}=M \cup \blue{\{x \in X:\; x \text{ ist Häufungspunkt von }M\}}=:M \cup \blue{\text{HP}(M)}\,.$$
[/mm]
(In [mm] $(\star)$ [/mm] steht doch nicht [mm] $\text{HP}(M)=\overline{M}\,;$ [/mm] denn nur, wenn das gelten würde, dann wäre [mm] $\overline{M}$ [/mm] einzig durch ihre Häufungspunkte charakterisiert.)
Aus [mm] $(\star)$ [/mm] erkennt man nur:
$$x [mm] \in \overline{M}$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow [/mm] x [mm] \in M\;\; \text{ oder }x \in \text{HP}(M)$$
[/mm]
[mm] $$\text{(bzw. } [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \;\;\text{ oder }\;\; [/mm] x [mm] \text{ ist Häufungspunkt von M).}$$
[/mm]
[mm] $\text{(}$Und [/mm] selbstverständlich erkennt man aus [mm] $(\star)$ [/mm] auch:
$$x [mm] \in \text{HP}(M) \Rightarrow [/mm] x [mm] \in \overline{M}\,.\text{)}$$
[/mm]
Und zu dem obigen Satz:
"Eine Menge [mm] $M\,$ [/mm] ist (genau dann) abgeschlossen, wenn jeder Häufungspunkt in der Menge liegt... "
Überlege Dir:
[mm] $M=\overline{M} \Rightarrow [/mm] M [mm] \cup \text{HP}(M) \subset [/mm] M [mm] \Rightarrow \text{HP}(M) \subset M\,,$ [/mm] also liegt jeder Häufungspunkt in der Menge [mm] $M\,$ [/mm] selbst. Umgekehrt gilt:
Wenn [mm] $\text{HP}(M) \subset M\,,$ [/mm] so ist $M=M [mm] \cup \text{HP}(M)=\overline{M}\,.$
[/mm]
Du kannst also auch sagen, eine Menge ist genau dann abgeschlossen, wenn sie mit ihrem Abschluss übereinstimmt. Falls Dir das lieber ist...
P.S.:
Wie genau habt ihr definiert, dass eine Menge $M [mm] \subset [/mm] X$ abgeschlossen ist? Habt ihr gesagt:
$$M [mm] \subset [/mm] X [mm] \text{ ist abgeschlossen}:\gdw [/mm] X [mm] \setminus [/mm] M [mm] \text{ ist offen in }X?$$
[/mm]
P.P.S.:
![[]](/images/popup.gif) Skript Analysis, Kapitel 9, insbesondere ab Definition 9.9.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 So 07.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Ja wir hatten als Satz, dass M ist offen (in X) [mm] \gdw X\setminus [/mm] M ist abgeschlossen und daraus eben auch direkt gefolgert dass analog für M abgeschlossen [mm] \gdw X\setminus [/mm] M offen
Aber irgendwie ist das immer noch für mich keine Antwort auf meine ursprüngliche Frage, ob der Abschluss der Menge M wirklich auch abgeschlossen ist (also ob wirklich jeder Punkt im Abschluss der Menge ein HP ist), und wenn, warum ist denn 5 ein Häufungspunkt in meinem oben aufgeführten Beispiel?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:50 So 07.06.2009 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> Ja wir hatten als Satz, dass M ist offen (in X) [mm]\gdw X\setminus[/mm]
> M ist abgeschlossen und daraus eben auch direkt gefolgert
> dass analog für M abgeschlossen [mm]\gdw X\setminus[/mm] M offen
> Aber irgendwie ist das immer noch für mich keine Antwort
> auf meine ursprüngliche Frage, ob der Abschluss der Menge M
> wirklich auch abgeschlossen ist (also ob wirklich jeder
> Punkt im Abschluss der Menge ein HP ist),
Fred97 und Marcel schrieben doch, dass nicht jeder Punkt des Abschlusses Häufungspunkt sein muss, diese Tatsache solltest du vielleicht zunächst akzeptieren, um dann auch zu sehen, dass...
> und wenn, warum
> ist denn 5 ein Häufungspunkt in meinem oben aufgeführten
> Beispiel?
... 5 in deinem Beispiel im Abschluss liegt, aber kein Häufungspunkt der Menge ist.
Die 5 ist ja doch direkt durch deine Definition des Abschlusses im Abschluss, denn laut deiner Definition ist doch der Abschluss einer Menge die Menge selbst vereinigt mit ihren Häufungspunkten. 5 ist von vornherein in der Menge, daher auch im Abschluss.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 So 07.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Das heißt also, der Abschluss einer Menge ist nicht immer abgeschlossen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 So 07.06.2009 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> Das heißt also, der Abschluss einer Menge ist nicht immer
> abgeschlossen...
Häh? Wie kommst du darauf?
Natürlich ist der Abschluss einer Menge abgeschlossen (weil durch erneute Abschlussbildung keine Punkte mehr hinzukommen bzw. erst recht nicht wegfallen).
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:22 So 07.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Vielen Dank für die Hilfe, jetz weiß ich wieso ich verwirrt war, ich hatte ständig eine falsche Definition von abgeschlossen im Kopf, nämlich dass jeder Punkt einer Menge HP sein muss, damit eine Menge abgeschlossen ist, sorry! Von daher, das war echt doof
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:22 So 07.06.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank für die Hilfe, jetz weiß ich wieso ich verwirrt
> war, ich hatte ständig eine falsche Definition von
> abgeschlossen im Kopf, nämlich dass jeder Punkt einer Menge
> HP sein muss, damit eine Menge abgeschlossen ist, sorry!
> Von daher, das war echt doof
das war nicht wirklich doof, sondern sowas kommt halt vor. Hauptsache, nun hat es endlich *klick* gemacht (und vermutlich wirst Du es dann auch nie wieder vergessen) 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:03 Mo 08.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für die Hilfe, jetz weiß ich wieso ich verwirrt
> war, ich hatte ständig eine falsche Definition
Das hatte ich Dir aber hier
https://matheraum.de/read?i=558514
schon gesagt
FRED
> von
> abgeschlossen im Kopf, nämlich dass jeder Punkt einer Menge
> HP sein muss, damit eine Menge abgeschlossen ist, sorry!
> Von daher, das war echt doof
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> Das hatte ich Dir aber hier
>
>
> https://matheraum.de/read?i=558514
>
>
> schon gesagt
Moin,
das Problem hatten andere auch schon:
"Darum rede ich zu ihnen durch Gleichnisse. Denn mit sehenden Augen sehen sie nicht, und mit hörenden Ohren hören sie nicht; denn sie verstehen es nicht." (Mt 13, 13)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:43 Mo 08.06.2009 | | Autor: | fred97 |
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> > Das hatte ich Dir aber hier
> >
> >
> > https://matheraum.de/read?i=558514
> >
> >
> > schon gesagt
>
>
> Moin,
>
> das Problem hatten andere auch schon:
>
> "Darum rede ich zu ihnen durch Gleichnisse. Denn mit
> sehenden Augen sehen sie nicht, und mit hörenden Ohren
> hören sie nicht; denn sie verstehen es nicht." (Mt 13, 13)
>
> Gruß v. Angela
Da bin ich aber gespannt, wie das aussieht, wenn Du in Zukunft bei Beantwortung von Fragen in Gleichnissen redest ! Gib mir bitte eine Kostprobe. Frage:
"" $f(x) = [mm] e^{2x}$
[/mm]
als Ableitung habe ich $f'(x) = [mm] 2xe^{2x-1}$
[/mm]
im Lösungsbuch steht aber was anderes. Was mache ich falsch ? ""
Gruß FRED
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> > "Darum rede ich zu ihnen durch Gleichnisse. Denn mit
> > sehenden Augen sehen sie nicht, und mit hörenden Ohren
> > hören sie nicht; denn sie verstehen es nicht." (Mt 13, 13)
> Da bin ich aber gespannt, wie das aussieht, wenn Du in
> Zukunft bei Beantwortung von Fragen in Gleichnissen redest
> ! Gib mir bitte eine Kostprobe. Frage:
>
> "" [mm]f(x) = [mm] e^{2x}[/mm
[/mm]
>
> als Ableitung habe ich [mm]f'(x) = 2xe^{2x-1}[/mm]
>
> im Lösungsbuch steht aber was anderes. Was mache ich falsch
> ? ""
Ich erkläre das so:
"Kennst du den Apfelbaum zur Herbstzeit?
Im noch grünen Laub leuchten im nun schon güldenen Sonnenschein rotglänzend und prall die Äpfelchen.
Welch eine Pracht!
Voller Vorfreude ein süßsaures Sehnen im Munde.
Weh! Ein Windstoß! Eine fallende Frucht.
Nah dem Stamme liegt nun Evas Verhängnis.
Rotglänzender Apfel am Fuße des Stammes.
Der Baum: unverändert prächtig voller Verheißungen.
Wer Augen hat, der sehe."
Das sollte den letzten Zweifler überzeugen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:25 Mo 08.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich erkläre das so:
"Kennst du den Apfelbaum zur Herbstzeit?
Im noch grünen Laub leuchten im nun schon güldenen Sonnenschein rotglänzend und prall die Äpfelchen.
Welch eine Pracht!
Voller Vorfreude ein süßsaures Sehnen im Munde.
Weh! Ein Windstoß! Eine fallende Frucht.
Nah dem Stamme liegt nun Evas Verhängnis.
Rotglänzender Apfel am Fuße des Stammes.
Der Baum: unverändert prächtig voller Verheißungen.
Wer Augen hat, der sehe."
Das sollte den letzten Zweifler überzeugen.
Gruß v. Angela
Donnerwetter, ich bin hin und weg.
Herzlichen Dank
FRED
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