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| Aufgabe | Sei (M,d) ein metrischer Raum, [mm] A\subset [/mm] M eine Teilmenge.
Ein Punkt [mm] x\in [/mm] M heißt Häufungspunkt von A, falls in jeder Umgebung U von x auch ein Punkt der Differenz [mm] A\backslash\{x\} [/mm] liegt. Ein Punkt [mm] x\in [/mm] A heißt isoliert, wenn es eine Umgebung U von x gibt, die keine weiteren Punkte von A enthält.
Zeige, dass der Abschluss von A genau aus den isolierten und den Höäufungspunkten von A besteht. |
Hallo alle zusammen,
zunächst muss zu der Aufgabe hinzugefügt werden, dass der Abschluss von A, der Durchschnitt aller abgeschlossenen Mengen ist, die A enthalten.
Da ich eine Mengengleichheit zeigen muss, muss ich doch zwei Mengeninklusionen zeigen.
Einmal, dass alle Elt. aus dem Abschluss ein HP bzw. isol. Punkt ist. Und Umgekehrt.
Leider komme ich nicht voran. Ich verstehe zwar das Problem, kann es mir auch vorstellen, aber wie ich genau dies beweise weis ich nicht.
1) Dass jeder isolierte Punkt im Abschluss liegen muss, ist mir klar.
Nur warum muss das für jeden HP von A sein?
Laut definition muss der HP nicht in A liegen. Es gilt nur, dass in jeder Umgebung von x auch ein Punkt aus [mm] A\backslash\{x\} [/mm] liegt.
Also: [mm] B(x,r)\cap A\backslash\{x\}\not=\emptyset
[/mm]
Aber was bedeutet das nun genau für mein x?
Ich würde mich über eure Hilfe sehr freuen. Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 Sa 06.06.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei (M,d) ein metrischer Raum, [mm]A\subset[/mm] M eine Teilmenge.
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> Ein Punkt [mm]x\in[/mm] M heißt Häufungspunkt von A, falls in jeder
> Umgebung U von x auch ein Punkt der Differenz
> [mm]A\backslash\{x\}[/mm] liegt. Ein Punkt [mm]x\in[/mm] A heißt isoliert,
> wenn es eine Umgebung U von x gibt, die keine weiteren
> Punkte von A enthält.
>
> Zeige, dass der Abschluss von A genau aus den isolierten
> und den Höäufungspunkten von A besteht.
> Hallo alle zusammen,
>
> zunächst muss zu der Aufgabe hinzugefügt werden, dass der
> Abschluss von A, der Durchschnitt aller abgeschlossenen
> Mengen ist, die A enthalten.
>
> Da ich eine Mengengleichheit zeigen muss, muss ich doch
> zwei Mengeninklusionen zeigen.
> Einmal, dass alle Elt. aus dem Abschluss ein HP bzw. isol.
> Punkt ist. Und Umgekehrt.
>
> Leider komme ich nicht voran. Ich verstehe zwar das
> Problem, kann es mir auch vorstellen, aber wie ich genau
> dies beweise weis ich nicht.
>
> 1) Dass jeder isolierte Punkt im Abschluss liegen muss, ist
> mir klar.
>
> Nur warum muss das für jeden HP von A sein?
> Laut definition muss der HP nicht in A liegen. Es gilt
> nur, dass in jeder Umgebung von x auch ein Punkt aus
> [mm]A\backslash\{x\}[/mm] liegt.
>
> Also: [mm]B(x,r)\cap A\backslash\{x\}\not=\emptyset[/mm]
>
> Aber was bedeutet das nun genau für mein x?
Geh von der Definition des Abschlusses aus: wenn D eine beliebige abgeschlossene Menge ist, die A enthält, dann müssen alle Häufungspunkte von A auch Elemente von D sein. Das ist äquivalent dazu, dass kein Häufungspunkt x von A im Komplement von D liegt. Das Komplement von D ist eine offene Menge, die A nicht enthält.
Du kannst also einen Widerspruchsbeweis bauen, indem du annimmst, dass x nicht in D liegt, also im Komplement von D.
Viele Grüße
Rainer
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Ich verstehe, aber warum folgt das aus der definition.
Wir haben definiert, dass D abgeschlossen ist genau dann wenn M/D offen ist.
Warum folgt daraus dass D alle Elt. von A [mm] \subset [/mm] D besitzen muss
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Ah ich glaube ich habs:
Sei also ein HP x von A gegeben.
z.Z. x [mm] \in [/mm] D
Ang. x [mm] \in [/mm] M \ D
-> es gibt eine Umgebung U von x mit U(x) [mm] \cap [/mm] D = [mm] \emptyset
[/mm]
aber das ist im Widerspruch zur vorraussetzung.
ist das so richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:14 So 07.06.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ah ich glaube ich habs:
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> Sei also ein HP x von A gegeben.
>
> z.Z. x [mm]\in[/mm] D
>
> Ang. x [mm]\in[/mm] M \ D
>
> -> es gibt eine Umgebung U von x mit U(x) [mm]\cap[/mm] D =
> [mm]\emptyset[/mm]
>
> aber das ist im Widerspruch zur vorraussetzung.
>
> ist das so richtig?
Genau: wenn [mm] $A\subset [/mm] D$ und D abgeschlossen ist, dann ist also jeder HP x von A Element von D.
Damit liegt x aber auch im Durchschnitt aller abgeschlossenen Mengen, die A enthalten, also im Abschluss von A.
Viele Grüße
Rainer
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So die eine Inklusion habe ich jetztz kapiert.
Nur wie zeige ich, dass jedes Elt. des Abschlusses auch ein HP bzw. isol. Punkt von A sein muss.
Mein Ansatz war folgender:
Sei ein x aus dem Abschluss D gegeben.
Ang x kein HP von A
-> es gibt ein Umgebung U(x) mit U(x) [mm] \cap [/mm] A = [mm] \emptyset
[/mm]
warum muss x jetzt ein isolierter Punkt sein?
Danke im vorraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 So 07.06.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> So die eine Inklusion habe ich jetztz kapiert.
>
> Nur wie zeige ich, dass jedes Elt. des Abschlusses auch ein
> HP bzw. isol. Punkt von A sein muss.
>
> Mein Ansatz war folgender:
>
> Sei ein x aus dem Abschluss D gegeben.
>
> Ang x kein HP von A
> -> es gibt ein Umgebung U(x) mit [mm]U(x) \cap A = \emptyset[/mm]
>
> warum muss x jetzt ein isolierter Punkt sein?
Da [mm]x \in D[/mm], ist entweder [mm]x\in A[/mm] oder [mm]x \in D\backslash A[/mm]. Wenn [mm]x\in A[/mm] und es ein $U(x)$ gibt mit $U(x) [mm] \cap A\backslash\{x\} [/mm] = [mm] \emptyset$, [/mm] so ist x ein isolierter Punkt von A.
Sei also $x [mm] \in D\backslash [/mm] A$, aber kein Häufungspunkt von A. Dann muss es eine Umgebung von x geben, die außerhalb von A liegt. Warum folgt daraus, dass diese Umgebung nicht in D liegen kann?
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:17 So 07.06.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich verstehe, aber warum folgt das aus der definition.
>
> Wir haben definiert, dass D abgeschlossen ist genau dann
> wenn M/D offen ist.
> Warum folgt daraus dass D alle Elt. von A [mm]\subset[/mm] D
> besitzen muss
Es geht um den Abschluss von A, also den Durchschnitt aller abgeschlossenen Mengen D, die A enthalten. Jede soclhe Menge enthält alle Elemente von A.
Viele Grüße
Rainer
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