Abschluss < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] $$Y:=\left\{ \left( x,\sin\left( \frac{1}{x}\right)\right) |x\in(0,1)\right\}$$ [/mm] und [mm] $$X:=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2 | 0
Zeigen Sie: [mm] $$\overline{Y}=X$$ [/mm] |
Ich soll hier zeigen, dass der Abschluss von Y gleich X ist, jedoch weiß ich nicht genau, wie ich das anstellen soll und würde mich zu so später stunde noch über Hilfe freuen :)
Vielen Dank
Dudi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:34 Do 03.05.2012 | | Autor: | meili |
Hallo Dudi,
> Seien [mm]Y:=\left\{ \left( x,\sin\left( \frac{1}{x}\right)\right) |x\in(0,1)\right\}[/mm]
> und [mm]X:=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2 | 0
>
> Zeigen Sie: [mm]\overline{Y}=X[/mm]
> Ich soll hier zeigen, dass der Abschluss von Y gleich X
> ist, jedoch weiß ich nicht genau, wie ich das anstellen
> soll und würde mich zu so später stunde noch über Hilfe
> freuen :)
Für $(x,y) [mm] \in [/mm] X [mm] \setminus [/mm] Y$ ist zu zeigen, dass in jeder Umgebung von $(x,y)$ ein [mm] $(\tilde{x},\tilde{y}) \in [/mm] Y$ liegt.
>
> Vielen Dank
> Dudi
Gruß
meili
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:51 Do 03.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien [mm]Y:=\left\{ \left( x,\sin\left( \frac{1}{x}\right)\right) |x\in(0,1)\right\}[/mm]
> und [mm]X:=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2 | 0
>
> Zeigen Sie: [mm]\overline{Y}=X[/mm]
> Ich soll hier zeigen, dass der Abschluss von Y gleich X
> ist, jedoch weiß ich nicht genau, wie ich das anstellen
> soll und würde mich zu so später stunde noch über Hilfe
> freuen :)
es ist klar, dass $Y [mm] \subseteq X\,.$ [/mm] Daraus folgt sofort [mm] $\overline{Y} \subseteq \overline{X}\,.$ [/mm] Somit reicht es zu zeigen, dass [mm] $X\,$ [/mm] selbst schon abgeschlossen ist - dass also [mm] $\overline{X}=X$ [/mm] gilt. , dann bist Du fertig.
Edit: Ich muss gerade selbst nochmal drüber meditieren, ob das wirklich reicht... oder warum das reicht.
Ergänzung: Zudem musst Du auch noch $X [mm] \subseteq \overline{Y}$ [/mm] begründen - aber auch das ist machbar:
Tipp: Wie sehen die Häufungspunkte von [mm] $Y\,$ [/mm] aus?
Dazu nimm' (irgendeine beliebige) Folge in [mm] $X\,$ [/mm] her, die in [mm] $\IR^2$ [/mm] konvergiert (die Konvergenz der Folge in [mm] $\IR^2$ [/mm] bzgl. [mm] $\|.\|_2$ [/mm] ist gleichbedeutend damit, dass beide Komponentenfolgen in [mm] $(\IR,|.|)$ [/mm] konvergieren), also gegen einen Punkt des [mm] $\IR^2$ [/mm] strebt und zeige, dass dann dieser Punkt sich als [mm] $(0,y_0)$ [/mm] mit einem $-1 [mm] \le y_0 \le [/mm] 1$ schreiben läßt, oder aber die Form [mm] $\left(x_0,\sin\left(\frac{1}{x_0}\right)\right)$ [/mm] mikt einem $0 < [mm] x_0 \le [/mm] 1$ hat - mit anderen Worten: Dass dieser Grenzwert dann schon in [mm] $X\,$ [/mm] liegt.
P.S.
Beachte auch obige Ergänzung!
Gruß,
Marcel
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