Abschätzung von ln(x), 0<x<1 < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zu zeigen ist:
[mm] 2p(\bruch{ln(p)}{p-1}-1) [/mm] > p(1-p) für alle 0<p<1. |
Ich komm durch Umformen auf die äquivalente Behauptung:
ln(p) < [mm] \bruch{1}{2}+p-\bruch{p^2}{2}
[/mm]
Frage 1: Ist das soweit richtig.
Frage 2: Wie weiter?
Anmerkung: Die Fragestellung stammt aus einem Statistik-Zusammenhang.
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Mi 14.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Zu zeigen ist:
>
> [mm]2p(\bruch{ln(p)}{p-1}-1)[/mm] > p(1-p) für alle 0<p<1.
> Ich komm durch Umformen auf die äquivalente Behauptung:
>
> ln(p) < [mm]\bruch{1}{2}+p-\bruch{p^2}{2}[/mm]
(diese Ungl. wäre trivial, da links was negatives, rechts was positives steht!)
Ich komm auf ne völlig andere Gleichung, also rechne nochmal nach.
Am Ende wirst du wohl ne Reihenentwicklung von ln um x=1 brauchen.
Gruss leduart
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 18:38 Mi 14.11.2007 | | Autor: | chimneytop |
Stimmt! Hab mich vertan, sollte
ln(p) < [mm] -\bruch{1}{2}p^2+p-\bruch{3}{2} [/mm] (das Ungleichheitszeichen wird zu <, da einmal mit p-1<0 multipliziert wird).
sein.
Die Idee mit der Reihenentwicklung hatte ich auch schon, weiß nur nicht wie ichs genau ansetzen soll:
Sei x=p-1. Dann komm ich auf:
[mm] ln(1+x)
[mm] ln(1+x)=x-\bruch{x^2}{2}+... [/mm] ja größer als dieser Term ist.
Sieht jemand meinen Denkfehler. Bin seit mehreren Stunden am Rechnen und wahrscheinlich einfach schon zu blöd dafür ;)
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 Mi 14.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. setz mal in deine Ungl. p=0,5 ein dann siehst du, dass sie nicht stimmt.
2. ln(p-1) ist für p<1 nicht definiert!
Gruss leduart
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Versteh ich nicht:
Für p=0.5 stimmt
ln(p) < [mm] -\bruch{1}{2}p^2+p-\bruch{3}{2}, [/mm] für alle anderen p zwischen 0 und 1 auch.
Und ln(p-1) kommt ja nirgends vor.
Bitte um Klärung!
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:53 Mi 14.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ln0,5=-0,69
[mm] -0,5^3+0,5-1,5=-0,89..
[/mm]
und das stimmt nicht denn -0,69>-0,89
ln(p-1) wolltest du lnx nennen und dann die Reihe betrachten, davor hatte ich gewarnt.
Wenn du deine Fragen als Korrektur postest, seh ich sie nicht als Fragen, sondern meist gar nicht.
Korrekturen bitte nur, wenn du sicher bist, was und wie etwas falsch ist.
Gruss leduart
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