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| Aufgabe | Seien $f(x)$ und $g(x)$ zwei integrierbare Funktionen mit Wertebereich $[0,1]$ und [mm] $\nu$ [/mm] und [mm] $\lambda$ [/mm] zwei Maße. [mm] \\
[/mm]
- Sei $C$ eine Menge für die ein [mm] $0<\epsilon<1/2$ [/mm] existiert, sodass [mm] $\inf_{x \in C}f(x) [/mm] > [mm] \sup_{x \in C}g(x)+\epsilon$ \\
[/mm]
- [mm] $\nu(x \in C)>q\in (0,1)$\\
[/mm]
- [mm] $|\lambda(x\in C)-\nu(x\in C)|\leq \frac{q\epsilon}{2}$.\\
[/mm]
Zu zeigen: [mm] $|\lambda(x\in C)\int_C \! [/mm] f(x) [mm] \; \lambda(\mathrm{d}x)-\nu(x\in C)\int_C \! [/mm] g(x) [mm] \; \nu(\mathrm{d}x)|>q\epsilon/4$. [/mm] |
Danke für den Fehlerhinweis!
Ich komme leider nicht auf die untere Grenze von [mm] $q\epsilon/4$. [/mm] Vielleicht könnt ihr mir helfen?
Meine Überlegungen waren:
[mm] $\lambda(x\in C)\int_C \! [/mm] f(x) [mm] \; \lambda(\mathrm{d}x)-\nu(x\in C)\int_C \! [/mm] g(x) [mm] \; \nu(\mathrm{d}x)$\\
[/mm]
[mm] $\geq\lambda(x\in C)\inf_{x\in C} [/mm] f(x) [mm] \lambda(x\in C)-\nu(x\in C)\sup_{x \in C}g(x) \nu(x \in C)$\\
[/mm]
[mm] $>\lambda^2(x \in [/mm] C) [mm] (\sup_{x \in C} g(x)+\epsilon)-\nu^2(x\in [/mm] C) [mm] \sup_{x\in C}g(x)$\\
[/mm]
Aus dem dritten Punkt folgt [mm] $\nu(x \in [/mm] C)- [mm] q\epsilon [/mm] /2 [mm] \leq \lambda(x \in C)\leq \nu(x \in C)+q\epsilon/2$. Also:\\
[/mm]
[mm] $\geq (\nu-q\epsilon/2)^2(\sup g(x)+\epsilon)-\nu^2\sup g(x)$\\
[/mm]
[mm] $=(q^2\epsilon^2/4-\nu q\epsilon)\sup [/mm] g(x) + [mm] \nu^2\epsilon-\nu q\epsilon^2 +q^2\epsilon^3/4$\\
[/mm]
$> [mm] 0-\nu q\epsilon+q^2\epsilon-\nu q\epsilon^2+q^2\epsilon^3/4$
[/mm]
An der Stelle komme ich nicht weiter und ich habe auch gar nicht mit Beträgen gearbeitet, da ich nicht so ganz wusste wie...
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen! Danke im Voraus.
LG, Hanna
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Hiho,
dein Ansatz und deine Aufgabenstellung widersprechen sich.
Du schreibst in der Aufgabe:
> Zu zeigen: [mm]|\nu_2(x\in C)\int_C \! f(x) \; \nu_2(\mathrm{d}x)-\nu_1(x\in C)\int_C \! g(x) \; \nu_2(\mathrm{d}x)|>q\epsilon/4[/mm].
Und beginnst mit:
> Meine Überlegungen waren:
> [mm]\nu_2(x\in C)\int_C \! f(x) \; \nu_2(\mathrm{d}x)-\nu_1(x\in C)\int_C \! g(x) \; \nu_1(\mathrm{d}x)[/mm][mm] \\[/mm]
wie du erkennst, hast du bei deinem Ansatz die Indizes in den Maßen vertauscht, insbesondere beim hinteren Integral. Was stimmt nun: Die Aufgabenstellung oder dein Ansatz? Verwende statt [mm] \nu_1 [/mm] und [mm] \nu_2 [/mm] doch einfach [mm] \nu [/mm] und [mm] $\mu$, [/mm] dann passiert das nicht 
Korrigiere das, dann kann man dir auch helfen.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:17 Do 27.08.2015 | | Autor: | qhalinaq |
Danke für den Hinweis und ich habe meine Ausführungen jetzt korrigiert. Dabei ist mir auch ein falscher Schluss bei den Abschätzungen aufgefallen, jetzt komme ich sogar noch weniger weit :D
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:13 Fr 28.08.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
die Aussage wie sie da steht ist trotzdem irgendwie falsch und auch irgendwie nicht eindeutig.
Alles steht und fällt mit der Wahl von q. Wie ist q denn zu wählen, es kann ja sein, dass es mehrere q's gibt, so dass die beiden Bedingungen
- $ [mm] \nu(x \in C)>q\in [/mm] (0,1) $$ [mm] \\ [/mm] $
- $ [mm] |\lambda(x\in C)-\nu(x\in C)|\leq \frac{q\epsilon}{2} [/mm] $$ [mm] .\\ [/mm] $
erfüllt sind.
Wenn das für alle q gelten soll, die diese Aussagen erfüllen, so ist die Aussage falsch, wie man sofort mit
[mm] $\lambda [/mm] = [mm] \nu$
[/mm]
[mm] $f\equiv 2\varepsilon, g\equiv [/mm] 0$
nachrechnen kann.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Sa 29.08.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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