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Eine Aufgabe in Amann/Escher lautet: Für $n>0$ zeige man [mm] $0
Als Hinweis ist gegeben, man solle [mm] $y_m=\sum_{k=n+1}^{n+m}\dfrac{1}{k!}$ [/mm] setzen und [mm] $(m+n)!y_m<\sum_{k=1}^m(n+1)^{1-k}$ [/mm] zeigen.
Aber diese Ungleichung ist doch in den allermeisten Fällen falsch. Was soll ich wirklich zeigen?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Hallo UniversellesObjekt,
> Aber diese Ungleichung ist doch in den allermeisten Fällen falsch.
Das ist richtig
> Was soll ich wirklich zeigen?
Zeige stattdessen:
$ [mm] (1+n)!y_m<\sum_{k=1}^m(n+1)^{1-k} [/mm] $
Ziel ist es dann wohl zu zeigen, dass $(n+1)!*e [mm] \not\in \IN$ [/mm] für alle n, wodurch sofort die Irrationalität von e folgt.
Gruß,
Gono
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Vielen Dank schon einmal für die Berichtigung der Aufgabe. Die rechte Seite kann ich als geometrische Summe umschreiben zu [mm] $\dfrac{1-1/(n+1)^m}{n/(n+1)}$. [/mm] Wenn ich nun durch $(n+1)!$ teile erhalte ich [mm] $y_m<\dfrac{1-1/(n+1)^m}{nn!}<\dfrac{1}{nn!}$, [/mm] aber dies genügt nicht, um [mm] $e-\sum_{k=0}^n\dfrac{1}{k!}=\lim y_m<\dfrac{1}{nn!}$ [/mm] einzusehen. Wo kann ich schärfer abschätzen?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Hiho,
verstehe ich dich richtig, dass dein Problem eigentlich ist, dass du nur [mm] \le [/mm] zeigen kannst, aber die Ungleichung strikt zu zeigen ist?
In dem Fall: Zeige, dass sogar [mm] $(1+n)!y_m<\sum_{k=1}^m(n+2)^{1-k}$ [/mm] gilt und du erhälst sogar [mm] $\lim y_m \le \bruch{n+1}{n+2} \bruch{1}{nn!} [/mm] < [mm] \bruch{1}{nn!}$
[/mm]
Gruß,
Gono
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Stimmt, so geht es. Vielen Dank!
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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