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Hey leute,
kann mir einer zeigen wie ich folgende Abschätzung beweisen kann.
1-x [mm] \le e^{-x}
[/mm]
Danke schonmal.
Gruß
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Hallo mathestudent!
Verwende die Potenzreihendarstellung der Exponentialfunktion: [mm] $\exp(x) [/mm] \ := \ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^n}{n!}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Ok. Wie ist denn denn die Potenzreihe für [mm] e^{-x}?
[/mm]
Eigentlich könnte man die Aussage auch anders herum formulieren.
Also [mm] e^{x} \ge [/mm] 1+x
Es kommt nach der Potenzreihe dann [mm] 1+x+\bruch{x^{2}}{2!}+...
[/mm]
Wie kann ich dann zeigen, dass [mm] \bruch{x^{2}}{2!}+.... \ge [/mm] 0 ist?
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Hallo,
> Ok. Wie ist denn denn die Potenzreihe für [mm]e^{-x}?[/mm]
Na, [mm]e^x=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\cdot{}x^k[/mm]
Also [mm]e^{\red{-x}}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\cdot{}\red{(-x)}^k \ = \ 1-x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}\pm\ldots[/mm]
>
> Eigentlich könnte man die Aussage auch anders herum
> formulieren.
> Also [mm]e^{x} \ge[/mm] 1+x
>
> Es kommt nach der Potenzreihe dann
> [mm]1+x+\bruch{x^{2}}{2!}+...[/mm]
>
> Wie kann ich dann zeigen, dass [mm]\bruch{x^{2}}{2!}+.... \ge[/mm] 0 ist?
Dazu fällt mir gerade auch nicht viel ein.
Ich würde das Ganze auch eher mit dem Mittelwertsatz angehen ...
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
ja ich habe nochmal wegen der Exponentialreihe nachgedacht, aber leider bin ich nicht zu einem Ergebnis gekommen.
Wie könnte ich es denn mit dem MWS machen?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:28 So 10.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo nochmal,
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> ja ich habe nochmal wegen der Exponentialreihe nachgedacht,
> aber leider bin ich nicht zu einem Ergebnis gekommen.
>
> Wie könnte ich es denn mit dem MWS machen?
Die Ungleichung
1-x $ [mm] \le e^{-x} [/mm] $
ist gleichbedeutend mit: [mm] (1-x)e^x \le [/mm] 1.
Setze [mm] f(x)=(1-x)e^x [/mm] -1 und zeige: f(x) [mm] \le [/mm] 0 für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
Wegen f(0)=0 stimmt das schon mal für x=0
Sei also x [mm] \ne [/mm] 0. Nach dem MWS gibt es ein s zwischen 0 und x mit
[mm] f(x)=-sxe^s.
[/mm]
Zeigen musst Du noch: sx [mm] \ge [/mm] 0
FRED
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> Gruß
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