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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:17 Fr 06.11.2009 | | Autor: | thb |
| Aufgabe | [mm] \[f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, x\mapsto\frac{1}{1+x^2}\].
[/mm]
Zeige, dass [mm] \[\sup_{x \in [-1,1]}\|f^{(2n)}\|\geq(2n)! \foralln\in\mathbb{N}\] [/mm] gilt. |
Ich habe das per Induktion probiert bin aber beim Induktionsschritt gescheitert. Der Induktionsanfang ist kein Problem.
Mein Dozent meint, Induktion kann hier nicht gehen. Was meint ihr?
Muss ich das irgendwie mit der Fehlerabschätzung
[mm] $e=\|f-_n\|_{\infty} \geq\frac{1}{4}\|f^{(N+1)}\|_{\infty}\frac{(b-a)^{N+1}}{(N+1)N^N}
[/mm]
machen?
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:53 Sa 07.11.2009 | | Autor: | wauwau |
Taylorentwicklung um 0 der Funktion (=geometr. Reihe) gibt
[mm] $f(x)=\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^ix^{2i}$
[/mm]
daher
[mm] $f^{(2k)} [/mm] = [mm] \sum_{i=k}^{\infty}(-1)^i\frac{2i!}{(2i-2k)!}x^{2i-2k}$
[/mm]
und daraus sollte das Weitere ja klar ersichtlich sein...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 So 08.11.2009 | | Autor: | thb |
Hallo, mir ist der Ansatz noch nicht ganz klar: für die Taylorentw. [mm] $T_0f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}f^{(k)}(0)x^k$ [/mm] brauche ich doch erst einen allg. Ausdruck für die n-te Ableitung.oder?!?
Schönen Gruß.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:57 Mo 09.11.2009 | | Autor: | wauwau |
Wenn du an die Summenformel einer geometr. reihe denkst
[mm] $1+q+q^2+q^3+..... [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-q}$ [/mm] dann ist deine Funktion genau eine solche mit
[mm] $q=-x^2$
[/mm]
Da Potenzreihenentwicklungen eindeutig sind kennst du damit die Potenzreihenentwicklung durch die geometrische Reihe....
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