Abschätzung < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:52 So 16.11.2008 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | [mm] $f:\IR\longrightarrow\IR$ [/mm] mit [mm] $f\in C^2(\IR,\IR)$, $u:[a,b]\longrightarrow\IR$ [/mm] stetig, [mm] $u_n:[a,b]\longrightarrow\IR$ [/mm] stetig mit [mm] $-\infty
[mm] $|f''(u(x))-f''(u_n(x))|\longrightarrow [/mm] 0$ für [mm] $n\longrightarrow\infty\quad\forall\,x\in[a,b]$
[/mm]
oder noch besser
[mm] $|f''(u(x))-f''(u_n(x))|\leqslant C|u(x)-u_n(x)|$ $\forall\,x\in[a,b]$ [/mm] |
Hallo an alle,
hat irgendjemand vielleicht eine Idee, wie ich diese Aussage zeigen kann? Da ich von $f''$ nur weiß, dass die Funktion stetig ist, lässt sich der letzte Teil vermutlich gar nicht zeigen. Da $[a,b]$ kompakte ist, weiß ich, dass die Mengen $u([a,b])$ und [mm] $u_n([a,b])$ [/mm] kompakt sind. $f''$ ist als stetige Funktion auf kompakten Intervallen dort gleichmäßig stetig (Satz von Heine), aber irgendwie hilft mir das auch nicht. Wäre schön, wenn jemand einen Rat hätte.
Danke und Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:10 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Denny22 |
Kann mir hier tatsächlich niemand weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:45 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Ninjoo |
Wenn f'' und u, [mm] u_{n} [/mm] stetig sind, dann kannst du den Limes reinziehen.
Der Betrag ist im übrigen auch stetig (Komposition von Quadrat und Wurzel).
Beispiel, g und [mm] f_{n} [/mm] stetig mit [mm] f_{n} \to [/mm] f:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] g(f_{n}) [/mm] - g(f) |
[mm] |\limes_{n\rightarrow\infty}( g(f_{n}) [/mm] - g(f) ) |
| [mm] g(\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ( [mm] f_{n} [/mm] )) - g(f) |
| g(f) - g(f) | = 0
Hoffe das hilft dir weiter :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:00 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Denny22 |
Stimmt, jede stetige Funktion ist nämlich folgenstetig. Damit folgt das Resultat. Danke nochmal.
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