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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:46 Mi 05.01.2011 | | Autor: | Nerix |
| Aufgabe 1 | zu zeigen:
0< e - [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!} [/mm] |
| Aufgabe 2 | zu zeigen:
e - [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!} \le \bruch{2}{(n+1)!} [/mm] |
Hey,
versuche mich gerade an Aufgabe 1: meine Gedanken dazu:
da e := [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}
[/mm]
gilt:
0< [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!} [/mm] - [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!}
[/mm]
so dies soll nun für JEDES n [mm] \in \IN [/mm] gelten.....hmmm. da aber [mm] \IN [/mm] ne unendliche Menge ist hätte ich behauptet,dass die Differenz genau = 0 ist und nicht größer,....kann mir wer meinen Irrtum aufzeigen??? Handelt es sich bei [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}um [/mm] einen anderen Definitionsbereich als [mm] \IN [/mm] ????(z.b [mm] \IR,dann [/mm] wäre mir 0< klar)
Grüße
Nerix
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Hallo Nerix,
> zu zeigen:
> 0< e - [mm]\summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!}[/mm]
>
> zu zeigen:
> e - [mm]\summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!} \le \bruch{2}{(n+1)!}[/mm]
>
> Hey,
>
> versuche mich gerade an Aufgabe 1: meine Gedanken dazu:
> da e := [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}[/mm]
> gilt:
ist äquivalent zu zeigen:
> 0< [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}[/mm] - [mm]\summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!}[/mm]
>
> so dies soll nun für JEDES n [mm]\in \IN[/mm] gelten.....hmmm. da
> aber [mm]\IN[/mm] ne unendliche Menge ist hätte ich behauptet,dass
> die Differenz genau = 0 ist und nicht größer,....kann mir
> wer meinen Irrtum aufzeigen??? Handelt es sich bei
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}um[/mm] einen anderen
> Definitionsbereich als [mm]\IN[/mm] ????(z.b [mm]\IR,dann[/mm] wäre mir 0<
> klar)
Ich weiß nicht, was du mit Definitionsbereih einer Reihe meinst...
Der obere Laufindex [mm]n[/mm] ist eine nat. Zahl.
Es ist doch [mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!} \ \ - \ \ \sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} \ \ = \ \ \sum\limits_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k!}[/mm]
Und das ist trivialerweise [mm]>0[/mm], du summierst ja lauter positive Summanden auf ...
>
>
> Grüße
> Nerix
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Mi 05.01.2011 | | Autor: | Nerix |
Hallo,
danke erstmal für deine Antwort. Mein Problem ist einfach,dass ich hald denke, dass es für jedes n [mm] \in \IN [/mm] gelten soll. da aber [mm] \IN [/mm] unendlich ist, dachte ich,dass der laufindex n in der Differenz eben das unendliche erreicht. Somit würde ich:
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}[/mm] - [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}[/mm] =0
> erhalten. das ist ja definitiv falsch!!!!
So nun ist die Frage, wo in meiner Vorstellung der Denkfehler ist. Ich merke ja,dass es hackt,möchte diesen Fehler nur ausmerzen,dass ich ihn nicht andauernd mache 
Deine Rechnung:
[mm] \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!} [/mm] - [mm] \sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k!}
[/mm]
kann ich zu 100% nachvollziehn.
Grüße
Nerix
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Hallo nochmal,
> Hallo,
> danke erstmal für deine Antwort. Mein Problem ist
> einfach,dass ich hald denke, dass es für jedes n [mm]\in \IN[/mm]
> gelten soll. da aber [mm]\IN[/mm] unendlich ist, dachte ich,dass
> der laufindex n in der Differenz eben das unendliche
> erreicht. Somit würde ich:
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}[/mm] - [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}[/mm] =0
> > erhalten. das ist ja definitiv falsch!!!!
Eben, die erste Summe [mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}[/mm] hat unendlich viele Summanden.
Die andere Summe [mm]\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}[/mm] hat für jedes beliebige, aber dann feste n "nur" endlich viele Summanden, nämlich [mm]n+1[/mm] Stück.
> So nun ist die Frage, wo in meiner Vorstellung der
> Denkfehler ist. Ich merke ja,dass es hackt,möchte diesen
> Fehler nur ausmerzen,dass ich ihn nicht andauernd mache
>
>
> Deine Rechnung:
> [mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}[/mm] - [mm]\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}[/mm] = [mm]\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k!}[/mm]
>
> kann ich zu 100% nachvollziehn.
Gut! Aber nochmal verbal umschrieben, auch wenn es dir klar ist:
Du nimmst durch die Differenz der beiden Summen von der ersten beliebig viele, aber endlich viele (nämlich n+1 viele) Summanden weg (für bel., aber festes n), es bleibt eine Summe, die ab [mm]k=n+1[/mm] losläuft, die aber weiterhin unendlich viele Summanden hat.
>
> Grüße
> Nerix
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schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:13 Mi 05.01.2011 | | Autor: | Nerix |
Hey,
danke,jetzt hab ichs kapiert.....!!!
Werd mich nun an Aufgabe 2 machen^^bei Problemen meld ich mich nochmal^^
Grüße
Nerix
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