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Forum "Uni-Sonstiges" - Abschätzen von Kettenbrüchen
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Abschätzen von Kettenbrüchen: Abschätzen von Kettebrüchen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:53 Di 27.12.2005
Autor: hallo12345

Hallo!

Im folgenden bezeichne [mm][b][/mm] für ein reelles [mm]b[/mm] die näcstkleinere ganze Zahl (floor).

Es wäre schön, wenn mir ein Zahlentheoretiker bei der folgenden Frage helfen könnte:

Es ist eine Abbildung [mm]F: R^+\to R^+[/mm] gegeben mit der Eigenschaft, dass
[mm]F(b)=[b]+\frac{[b]}{2*F(b)}.[/mm]

Die zugehörige Kettenbruchentwicklung ist [mm]F(b)=[[b],2,[b],2,...] [/mm].

Meine Frage ist nun:

Wieso ist [mm]\limes_{b\rightarrow\infty}F(b)-[b]=1/2[/mm] und wieso ist [mm]F(b)-[b][/mm] monoton wachsend?

Danke!Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
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Abschätzen von Kettenbrüchen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:48 Di 27.12.2005
Autor: mathiash

Hallo,

mag sein, dass ich etwas missinterpretiere, aber kann es sein, dass Du die Aufgabenstellung nicht richtig wiedergibst ? Fuer Dein F gilt sicherlich

[mm] F(b)\geq [/mm] b-1 , also insbesondere nicht [mm] \lim_{b\to\infty} F(b)=1\slash [/mm] 2,

und die Funktionsgleichung kann man - als quadr. Gl. - explizit loesen.

Gruss,

Mathias

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Abschätzen von Kettenbrüchen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:24 Di 27.12.2005
Autor: hallo12345

Ups, danke, ich meine
[mm] \limes_{b\rightarrow\infty} [/mm] F(b)-[b]=1/2


Aber die Frage bleibt...wieso giltdas? Danke!

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Abschätzen von Kettenbrüchen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:20 Mi 28.12.2005
Autor: mathiash

Hallo,

also an Deiner Funktionsgleichung scheint sich ja laut Deiner letzten Antwort nichts
geaendert zu haben:

F(b) = [mm] \lfloor b\rfloor [/mm] + [mm] \frac{\lfloor b\rfloor}{2\cdot F(b)} [/mm]

Stellen wir dies um und betrachten fuer einen Moment mal nur ganzzahlige b, so soll also
fuer diese gelten:

  [mm] (F(b))^2 -F(b)\cdot [/mm] b [mm] -\frac{b}{2}=0 [/mm]

und man bekommt

  F(b) [mm] =\frac{b}{2} [/mm] + [mm] \sqrt{\frac{b^2}{4}+\frac{1}{2}} [/mm]

(da F(b) [mm] \geq [/mm] 0  gelten soll).

Also gilt

  F(b)-b [mm] =\sqrt{\frac{b^2}{4}+\frac{1}{2}}-\sqrt{\frac{b^2}{4}} [/mm]

was wohl gegen [mm] \sqrt{1\slash 2} [/mm] konvergiert.

Wenn es dies fuer ganzzahlige Werte tut, so auch für reelle Werte.

Weiterhin sieht man aus der Funktionsgleichung sofort die Monotonie.

Gruss,

Mathias

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Abschätzen von Kettenbrüchen: Tippfehler?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:31 Mi 28.12.2005
Autor: Loddar

Hallo Mathias!


Muss es hier nicht heißen (nach Anwendung der p/q-Formel):

$F(b) \ [mm] =\frac{b}{2} [/mm] + [mm] \sqrt{\frac{b^2}{4}+\frac{\red{b}}{2}}$ [/mm]


Ansonsten komme ich für $F(b)-b_$ auch nicht auf den ganannten Grenzwert von [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] .


Gruß
Loddar


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Abschätzen von Kettenbrüchen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:54 Mi 28.12.2005
Autor: mathiash

Hallo Loddar,

ja natuerlich, [mm] b\slash [/mm] 2 anstelle [mm] 1\slash [/mm] 2      !!!

Aber ist denn dann nicht fuer ganzzahlige b

F(b)-b = [mm] \sqrt{\frac{b^2}{4}+\frac{b}{2}}-\sqrt{\frac{b^2}{4}}= [/mm]

= [mm] \sqrt{\frac{b^2}{4}\cdot (1+\frac{2}{b})}-\sqrt{\frac{b^2}{4}} [/mm]

was gegen 0 gehen sollte.

(Oder heisst Dein ''ansonsten'', dass Du trotz der Korrektur nicht auf [mm] \frac{1}{2} [/mm] kommst ?)

Gruss,

Mathias

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Abschätzen von Kettenbrüchen: Alles okay jetzt!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:33 Mi 28.12.2005
Autor: Loddar

Guten Morgen Mathias!


Nein, nein! Nun ist alles okay! Ohne die o.g. Korrektur habe ich den Grenzwert [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] "verfehlt" ...


Mit der Korrektur klappt es wunderbar (Tipp an hallo: Term gemäß 3. binomischer Formel erweitern).


Gruß
Loddar


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Abschätzen von Kettenbrüchen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:51 Mi 28.12.2005
Autor: mathiash

Mea maxima culpa.

Loddar, Du hast natuerlich recht.

Gruss,

Mathias

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Abschätzen von Kettenbrüchen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:06 Mi 28.12.2005
Autor: hallo12345

Dankeschön!

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