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Hallo Forum,
bei folgender Übungsaufgabe komm ich noch nicht wirklich weiter:
Sei [mm] f:[0,\infty)\to \IR [/mm] differenzierbar und es gelte: k*f(x) [mm] \le [/mm] f'(x) [mm] \le [/mm] K*f(x) mit Konstanten k, K [mm] \in \IR. [/mm] Zu zeigen: [mm] f(0)*e^{kx} \le [/mm] f(x) [mm] \le f(0)*e^{Kx} \forallx \ge [/mm] 0.
(Hinweis: Betrachte die Funktion h(x):= [mm] f(x)*e^{-Kx})
[/mm]
Insbesondere der Hinweis verwirrt mich etwas - könnte jemand von euch bitte einen Ansatz posten? Weil im Moment komm ich überhaupt nicht weiter :/
[Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:55 Do 04.03.2010 | | Autor: | gfm |
Teile durch f(x) und integriere von 0 bis y.
LG
gfm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:25 Do 04.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Teile durch f(x) und integriere von 0 bis y.
... und was, wenn f Nullstellen besitzt ?
... und was bei Vorzeichenwechsel ?
.... und was , wenn f'/f nicht integrierbar ist ?
FRED
>
> LG
>
> gfm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:49 Do 04.03.2010 | | Autor: | gfm |
Ok, war'n Schnellschuß.
Danke sehr.
LG
gfm
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:33 Do 04.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Forum,
>
> bei folgender Übungsaufgabe komm ich noch nicht wirklich
> weiter:
>
> Sei [mm]f:[0,\infty)\to \IR[/mm] differenzierbar und es gelte:
> k*f(x) [mm]\le[/mm] f'(x) [mm]\le[/mm] K*f(x) mit Konstanten k, K [mm]\in \IR.[/mm] Zu
> zeigen: [mm]f(0)*e^{kx} \le[/mm] f(x) [mm]\le f(0)*e^{Kx} [/mm]
> 0.
> (Hinweis: Betrachte die Funktion h(x):= [mm]f(x)*e^{-Kx})[/mm]
>
> Insbesondere der Hinweis verwirrt mich etwas - könnte
> jemand von euch bitte einen Ansatz posten? Weil im Moment
> komm ich überhaupt nicht weiter :/
Hinweisen sollte man nachgehen .... !
Wir setzen also: h(x):= [mm]f(x)*e^{-Kx}[/mm]
berechne die Ableitung h' und Du wirst fest stellen, dass $h'(x) [mm] \le [/mm] 0$ ist für jedes x [mm] \ge [/mm] 0.
h ist also monoton fallend und daher: $h(x) [mm] \le [/mm] h(0)= f(0)$ für x [mm] \ge [/mm] 0.
Das liefert Dir: f(x) $ [mm] \le f(0)\cdot{}e^{Kx} [/mm] $ für $x [mm] \ge [/mm] 0 $
Setzt Du g(x) =[mm]f(x)*e^{-kx}[/mm], so erhälst Du analog: [mm] $f(0)\cdot{}e^{kx} \le [/mm] $ f(x) für x [mm] \ge [/mm] 0
FRED
>
> [Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.]
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Juhu, ich hab beide Abschätzungen hinbekommen.
Vielen Dank für die... naja, Lösung eigentlich ;) Hat mir sehr viel weitergeholfen!
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