Abs. konverg. Reihe, Teilfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass eine Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] genau dann absolut konvergiert, wenn für jede Teilfolge [mm] $\left(a_{k_j}\right)$ [/mm] von [mm] $\left(a_k\right)$ [/mm] die Reihe [mm] $\sum_{j=1}^\infty a_{k_j}$ [/mm] konvergiert. |
Hallo mal wieder, ich entschuldige mich schon mal im Vorfeld, dass ich hier schon wieder eine Frage stelle, aber mit der Aufgabe hier habe ich auch so meine Probleme... Ich habe jetzt zwar Lösungen für beide Beweisrichtungen, bin mit beiden allerdings eher unzufrieden, da es mir so vorkommt, als wäre zumindest die Ausführung nicht in Ordnung, selbst wenn die Ideen richtig sein sollten. Also, ich hatte folgende zwei Ideen:
[mm] $\Rightarrow$:
[/mm]
Es sei [mm] $\sum_{k=1}^\infty \left|a_k\right|=a$, [/mm] dann gilt für alle [mm] $\left(a_{k_j}\right)$ [/mm] von [mm] $\left(a_k\right)$: $\sum_{j=1}^\infty \left|a_{k_j}\right|\leqslant [/mm] a$ (ich summiere ja schließlich "weniger" auf als bei der kompletten Folge), womit ich die absolute Konvergenz von [mm] $\sum_{j=1}^\infty a_{k_j}$ [/mm] gezeigt hätte. Hier habe ich allerdings mehrere Zweifel an meiner "Lösung". Erstens, war nie von absoluter Konvergenz die Rede, ich habe also mehr gezeigt, als ich eigentlich zeigen sollte, und zweitens weiß ich nicht, ob [mm] $\sum_{j=1}^\infty \left|a_{k_j}\right|\leqslant [/mm] a$ überhaupt gilt.
[mm] $\Leftarrow$:
[/mm]
Hier war die Idee zwei Teilfolgen zu konstruieren, wobei eine der Teilfolgen alle nichtnegativen [mm] $a_k$ [/mm] enthält, während die andere alle negativen [mm] $a_k$ [/mm] enthält:
Es sei [mm] $\left(a_{k_i}\right)$ [/mm] eine Teilfolge von [mm] $\left(a_k\right)$ [/mm] mit [mm] $a_{k_i}\geqslant 0\,\forall i\in\mathbb{N}$ [/mm] und [mm] $\left(a_{k_h}\right)$ [/mm] eine Teilfolge von [mm] $\left(a_k\right)$ [/mm] mit [mm] $a_{k_h}< 0\,\forall h\in\mathbb{N}$. [/mm] Seien beide Reihen nun konvergent mit [mm] $\sum_{i=1}^\infty a_{k_i}=x$ [/mm] (x>0) und [mm] $\sum_{h=1}^\infty a_{k_h}=-y$ [/mm] (y>0). Dann wären beide Reihen ja auch absolut konvergent mit [mm] $\sum_{i=1}^\infty \left|a_{k_i}\right|=x$ [/mm] (weil eh nur positiv) und [mm] $\sum_{h=1}^\infty \left|a_{k_h}\right|=y$ [/mm] (weil ja alle negativ). Nur wie ich jetzt aufschreiben soll, dass die "Kombination" von beiden Reihen dann [mm] $a_k$ [/mm] ergibt (würde ich beide addieren, dann hätte ich ja gerade alle Elemente von [mm] $\sum_{k=1}^\infty \left|a_k\right|$, [/mm] oder?), welches ja dann [mm] $\sum_{k=1}^\infty \left|a_k\right|$ [/mm] konvergent implizieren sollte, weiß ich nicht so recht.
Ist zumindest eine Richtung von beiden richtig, oder zumindest die Idee?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:04 Di 22.11.2011 | | Autor: | Lustique |
Ist unklar was ich genau will, oder hat gerade keiner Lust/Zeit sich mit meiner Frage zu beschäftigen? Ihr seid ja sonst immer so fix. :D
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:29 Di 22.11.2011 | | Autor: | donquijote |
> Beweisen Sie, dass eine Reihe [mm]\sum_{k=1}^\infty a_k[/mm] genau
> dann absolut konvergiert, wenn für jede Teilfolge
> [mm]\left(a_{k_j}\right)[/mm] von [mm]\left(a_k\right)[/mm] die Reihe
> [mm]\sum_{j=1}^\infty a_{k_j}[/mm] konvergiert.
>
>
> Hallo mal wieder, ich entschuldige mich schon mal im
> Vorfeld, dass ich hier schon wieder eine Frage stelle, aber
> mit der Aufgabe hier habe ich auch so meine Probleme... Ich
> habe jetzt zwar Lösungen für beide Beweisrichtungen, bin
> mit beiden allerdings eher unzufrieden, da es mir so
> vorkommt, als wäre zumindest die Ausführung nicht in
> Ordnung, selbst wenn die Ideen richtig sein sollten. Also,
> ich hatte folgende zwei Ideen:
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]:
>
> Es sei [mm]\sum_{k=1}^\infty \left|a_k\right|=a[/mm], dann gilt für
> alle [mm]\left(a_{k_j}\right)[/mm] von [mm]\left(a_k\right)[/mm]:
> [mm]\sum_{j=1}^\infty \left|a_{k_j}\right|\leqslant a[/mm] (ich
> summiere ja schließlich "weniger" auf als bei der
> kompletten Folge), womit ich die absolute Konvergenz von
> [mm]\sum_{j=1}^\infty a_{k_j}[/mm] gezeigt hätte. Hier habe ich
> allerdings mehrere Zweifel an meiner "Lösung". Erstens,
> war nie von absoluter Konvergenz die Rede, ich habe also
> mehr gezeigt, als ich eigentlich zeigen sollte, und
> zweitens weiß ich nicht, ob [mm]\sum_{j=1}^\infty \left|a_{k_j}\right|\leqslant a[/mm]
> überhaupt gilt.
Ich sehe da kein Problem. [mm] \sum_{j=1}^\infty \left|a_{k_j}\right|\leqslant [/mm] a ist für mich offensichtlich und muss nicht weiter begründet werden. Und wenn die Reihe absolut konvergiert, konvergieren auch die Summen über Teilfolgen absolut, auch wenn es nicht in der Aufgabe formuliert ist.
>
> [mm]\Leftarrow[/mm]:
>
> Hier war die Idee zwei Teilfolgen zu konstruieren, wobei
> eine der Teilfolgen alle nichtnegativen [mm]a_k[/mm] enthält,
> während die andere alle negativen [mm]a_k[/mm] enthält:
Auch das ist der richtige Ansatz.
>
> Es sei [mm]\left(a_{k_i}\right)[/mm] eine Teilfolge von
> [mm]\left(a_k\right)[/mm] mit [mm]a_{k_i}\geqslant 0\,\forall i\in\mathbb{N}[/mm]
> und [mm]\left(a_{k_h}\right)[/mm] eine Teilfolge von
> [mm]\left(a_k\right)[/mm] mit [mm]a_{k_h}< 0\,\forall h\in\mathbb{N}[/mm].
> Seien beide Reihen nun konvergent mit [mm]\sum_{i=1}^\infty a_{k_i}=x[/mm]
> (x>0) und [mm]\sum_{h=1}^\infty a_{k_h}=-y[/mm] (y>0). Dann wären
> beide Reihen ja auch absolut konvergent mit
> [mm]\sum_{i=1}^\infty \left|a_{k_i}\right|=x[/mm] (weil eh nur
> positiv) und [mm]\sum_{h=1}^\infty \left|a_{k_h}\right|=y[/mm] (weil
> ja alle negativ). Nur wie ich jetzt aufschreiben soll, dass
> die "Kombination" von beiden Reihen dann [mm]a_k[/mm] ergibt (würde
> ich beide addieren, dann hätte ich ja gerade alle Elemente
> von [mm]\sum_{k=1}^\infty \left|a_k\right|[/mm], oder?), welches ja
> dann [mm]\sum_{k=1}^\infty \left|a_k\right|[/mm] konvergent
> implizieren sollte, weiß ich nicht so recht.
>
Auch hier denke ich, dass man einfach schreiben kann
[mm] $\sum_{k=1}^\infty \left|a_{k}=\sum_{i=1}^\infty \left|a_{k_i}+\sum_{h=1}^\infty \left|a_{k_h}$.
Da beide Reiehn rechts absolut konvergieren, spielt die Summationsreigenfolge keine Rolle. Damit wäre die Aufgabe gelöst.
>
>
> Ist zumindest eine Richtung von beiden richtig, oder
> zumindest die Idee?
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Do 24.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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