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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:52 Mo 01.11.2010 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Berechnen Sie die Ableitung von [mm] $x\mapsto u(x)^{v(x)}$, [/mm] indem Sie die mehrdimensionale Kettenregel auf [mm] $g(u,v)=u^v$ [/mm] anwenden. |
Mein eindimensionaler Herleitungsweg:
$f(x) = [mm] u(x)^{v(x)}| [/mm] d$
$f'(x) = [mm] (e^{v(x) \cdot ln(u(x)})' [/mm] = [mm] u(x)^{v(x)} \left[ v'(x) ln(u(x)) -v(x) \cdot \frac{u'(x)}{u(x)}\right]. [/mm] $
Meine Frage lautet nun, wie man das gleiche mit der mehrdimensionalen Kettenregel durchführeren kann, ich wüßte wirklich hier absolut nicht, wie man das macht und was für einen Unterschied in der Herleitung dies hervorrufen sollte.
Würde mich auf ein paar nützliche Tipps freuen! ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Di 02.11.2010 | | Autor: | clemenum |
Ist diese Aufgabe "so einfach", dass ich sie unbedingd alleine können muss?
Ich möchte nur einschätzen können, bei welchen Aufgaben man eine Antwort erwarten darf und bei welchen die Lösung absolut selbst gelöst werden muss.
Würde mich auf diese Info freuen!
Außerdem, meine letzte Aufgabe ist erst in etwa 15 Stunden überfällig!
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Hallo clemenum,
> Ist diese Aufgabe "so einfach", dass ich sie unbedingd
> alleine können muss?
Das will ich nicht hoffen. Ich kann sie nämlich nicht aus dem Stegreif. Wenn überhaupt je. 
> Ich möchte nur einschätzen können, bei welchen Aufgaben
> man eine Antwort erwarten darf und bei welchen die Lösung
> absolut selbst gelöst werden muss.
Erhoffen darfst Du immer, erwarten nie. Aber meistens bekommst Du eine recht schnelle Antwort, weil fast immer jemand da ist, der Deine Aufgabe selber lösen kann. Dann ist es ja auch am leichtesten, einen vernünftigen Tipp zu geben.
> Würde mich auf diese Info freuen!
> Außerdem, meine letzte Aufgabe ist erst in etwa 15 Stunden
> überfällig!
Die hier? Die war doch schon fast 9 Stunden überfällig, als Du Deine Nachfrage schriebst.
lg,
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:51 Mi 03.11.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo clemenum,
interessant, was alles in Österreich schon in der Oberstufe behandelt wird.
> Berechnen Sie die Ableitung von [mm]x\mapsto u(x)^{v(x)}[/mm], indem
> Sie die mehrdimensionale Kettenregel auf [mm]g(u,v)=u^v[/mm]
> anwenden.
> Mein eindimensionaler Herleitungsweg:
> [mm]f(x) = u(x)^{v(x)}| d[/mm]
> [mm]f'(x) = (e^{v(x) \cdot ln(u(x)})' = u(x)^{v(x)} \left[ v'(x) ln(u(x)) -v(x) \cdot \frac{u'(x)}{u(x)}\right].[/mm]
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> Meine Frage lautet nun, wie man das gleiche mit der
> mehrdimensionalen Kettenregel durchführeren kann, ich
> wüßte wirklich hier absolut nicht, wie man das macht und
> was für einen Unterschied in der Herleitung dies
> hervorrufen sollte.
> Würde mich auf ein paar nützliche Tipps freuen! ;)
Ich sehe dein Problem mit der mehrdimensionalen Kettenregel leider nicht, da ich keine hellseherischen Fähigkeiten besitze.
Du musst doch nur die verketteten Funktionen finden dann die Kettenregel anwenden:
$g: [mm] \IR^2\to\IR$, $g(u,v)=u^v$ [/mm] (ist gegeben)
$f: [mm] \IR\to\IR^2$, [/mm] $f(x)=(u(x),v(x))$
Verkettung: [mm] $h=g\circ [/mm] f: [mm] \IR\to\IR$, $g(f(x))=u(x)^{v(x)}$
[/mm]
Kettenregel: $h'(x)=g'(f(x))*f'(x)$ (etwas wenig formal hingeschrieben, deine Unterlagen sollten eure exakte Schreibweise enthalten)
Berechne nun $f'$ und $g'$. Beachte, dass es sich dabei um Vektoren handelt ($f'$ ist ein Zeilenvektor der Länge 2, also der Gradient, und $g'$ ein Spaltenvektor der Länge 2). Der Malpunkt aus der Kettenregel ist das Matrix-Matrix- bzw. Matrix-Vektor- bzw. hier sogar das (Standard-) Skalarprodukt der Vektoren.
Viele Grüße,
Marc
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