Ableitungshomomorphismus < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] n\in\IN [/mm] und [mm] V_n [/mm] := [mm] span(1,t,...,t^n) \subseteq \IR[/mm] [t] mit Basis [mm] B_n [/mm] = { [mm] 1,...,t^n [/mm] }. Sei [mm] d_n [/mm] : [mm] V_n \to V_{n-1}; [/mm] p [mm] \mapsto [/mm] p' der Ableitungshomomorphismus.
Zeigen Sie, dass eine lineare Abbildung [mm] c_n [/mm] : [mm] V_{n-1} \subseteq V_n [/mm] mit [mm] d_n \circ c_n [/mm] = id gibt und bestimmen Sie [mm] M_{B_{n-1},B_n}(c_n) [/mm] |
Hallo!
Wenn [mm] d_n \circ c_n [/mm] = id gilt, heißt es doch, dass [mm] d_n [/mm] bijektiv ist oder? D.h., wenn ich zeige, dass Bijektivität herrscht, kann ich auch sagen, dass es diese lin. Abb. [mm] c_n [/mm] auch gibt.
Injektivität: [mm] d_n [/mm] ist injektiv <=> [mm] ker(d_n) [/mm] = {0}
[mm] ker(d_n) [/mm] = { [mm] p\in V_n [/mm] : [mm] d_n(p) [/mm] = 0 } = { p [mm] \in V_n [/mm] : p' = 0 } = { 0,1,2,....,k} [mm] k\in V_n. [/mm] Der Kern ist ja gar nicht { 0 } (es sei denn ich habe was falsch gemacht), also ist die Abbildung ja nichtmal injektiv, da ja die Ableitung aller Konstanten gleich 0 ist und nicht nur die von 0.
Ich weiß gerade nicht genau, wie ich das zeigen soll und würde mich über einen Tipp freuen :)
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mo 17.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:04 Di 18.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]n\in\IN[/mm] und [mm]V_n[/mm] := [mm]span(1,t,...,t^n) \subseteq \IR[/mm] [t]mit Basis [mm]B_n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm]1,...,t^n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}. Sei [mm]d_n[/mm] : [mm]V_n \to V_{n-1};[/mm] p [mm]\mapsto[/mm] p' der Ableitungshomomorphismus.
>
> Zeigen Sie, dass eine lineare Abbildung [mm]c_n[/mm] : [mm]V_{n-1} \subseteq V_n[/mm] mit [mm]d_n \circ c_n[/mm] = id gibt und bestimmen Sie [mm]M_{B_{n-1},B_n}(c_n)[/mm]
>
>
> Hallo!
>
> Wenn [mm]d_n \circ c_n[/mm] = id gilt, heißt es doch, dass [mm]d_n[/mm] bijektiv ist oder? D.h., wenn ich zeige, dass Bijektivität herrscht, kann ich auch sagen, dass es diese lin. Abb. [mm]c_n[/mm] auch gibt.
>
> Injektivität: [mm]d_n[/mm] ist injektiv <=> [mm]ker(d_n)[/mm] = {0}
>
> [mm]ker(d_n)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm]p\in V_n[/mm] : [mm]d_n(p)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= 0 } = { p [mm]\in V_n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
: p' = 0 } = { 0,1,2,....,k} [mm]k\in V_n.[/mm]
Was nach dem letzten "=" kommt, ist Unfug.
Der Kern ist ja gar nicht { 0 } (es sei denn ich habe was falsch gemacht), also ist die Abbildung ja nichtmal injektiv, da ja die Ableitung aller Konstanten gleich 0 ist und nicht nur die von 0.
>
> Ich weiß gerade nicht genau, wie ich das zeigen soll und würde mich über einen Tipp freuen :)
Für [mm] c_n [/mm] denk mal an die Abbildung , die einem Polynom eine Stammfunktion zuordnet.
FRED
|
|
|
|
