Ableitungen bei PDGL´n < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:56 Mo 17.07.2006 | | Autor: | grda |
| Aufgabe | Mit Hilfe der Substitution u(x, y) = y/x
, v(x, y) = xy bestimme man die allgemeine Loesung z(x, y)
der partiellen Differentialgleichung
[mm] x^2z_x_x - y^2z_y_y + xz_x - yz_y = 0 [/mm]
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Hallihallo an alle,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
also ich hab da ein kleines Problem mit dieser PDGL. Und zwar: ich weiss zwar an und für sich wie solche PDGL´n im allgemeinen gelöst werden können, aber ich finde einfach net den richtigen Ansatz um die zweiten Ableitungen, also [mm] z_x_x und z_y_y [/mm] zu lösen.
Also so weit bin ich schon mal:
z(x,y)=Z(u(x,y) , v(x,y))
[mm] u_x = \frac{- y}{x^2} [/mm]
[mm] u_y = \frac{1}{x} [/mm]
[mm] u_x_x = \frac{2y}{x^3} [/mm]
[mm] u_y_y = 0 [/mm]
[mm] u_x_y = u_y_x = \frac{ - 1}{x^2} [/mm]
[mm] v_x = y [/mm]
[mm] v_y = x [/mm]
[mm] v_x_x = 0 [/mm]
[mm] v_y_y = 0 [/mm]
[mm] v_x_y = v_y_x = 1 [/mm]
dann müsste ja
[mm] z_x = Z_u * u_x + Z_v * v_x [/mm]
und
[mm] z_y = Z_u * u_y + Z_v * v_y [/mm]
sein.
Hoffe, dass stimmt erst mal so weit...grins?!
Naja, und nun bräuchte ich ja eigentlich noch [mm]z_x_x und z_y_y[/mm]
Aber da komm ich eben net drauf. Ich weiss nur, dass als nächstes Zwischenergebniss nach dem Einsetzen der ganzen Ableitungen in die PDGL [mm] - 4uvZ_u_v = 0 [/mm] herauskommen sollte.
Ich wäre sehr froh wenn mir da vielleicht weiter geholfen werden könnte.
Vielen Dank, schon mal im Vorraus
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Hallo,
> Mit Hilfe der Substitution u(x, y) = y/x
> , v(x, y) = xy bestimme man die allgemeine Loesung z(x,
> y)
> der partiellen Differentialgleichung
> [mm]x^2z_x_x - y^2z_y_y + xz_x - yz_y = 0 [/mm]
>
> Hallihallo an alle,
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> also ich hab da ein kleines Problem mit dieser PDGL. Und
> zwar: ich weiss zwar an und für sich wie solche PDGL´n im
> allgemeinen gelöst werden können, aber ich finde einfach
> net den richtigen Ansatz um die zweiten Ableitungen, also
> [mm]z_x_x und z_y_y [/mm] zu lösen.
>
> Also so weit bin ich schon mal:
>
> z(x,y)=Z(u(x,y) , v(x,y))
>
> [mm]u_x = \frac{- y}{x^2} [/mm]
> [mm]u_y = \frac{1}{x}[/mm]
> [mm]u_x_x = \frac{2y}{x^3} [/mm]
>
> [mm]u_y_y = 0 [/mm]
> [mm]u_x_y = u_y_x = \frac{ - 1}{x^2} [/mm]
>
> [mm]v_x = y [/mm]
> [mm]v_y = x [/mm]
> [mm]v_x_x = 0 [/mm]
> [mm]v_y_y = 0 [/mm]
> [mm]v_x_y = v_y_x = 1 [/mm]
>
> dann müsste ja
>
> [mm]z_x = Z_u * u_x + Z_v * v_x [/mm]
>
> und
>
> [mm]z_y = Z_u * u_y + Z_v * v_y [/mm]
>
> sein.
> Hoffe, dass stimmt erst mal so weit...grins?!
>
ich denke schon.
> Naja, und nun bräuchte ich ja eigentlich noch [mm]z_x_x und z_y_y[/mm]
>
> Aber da komm ich eben net drauf.
Warum? du musst einfach [mm] z_x [/mm] und [mm] z_y [/mm] nochmal ableiten, nach dem gleichen schema wie du es schon gemacht hast (kettenregel, produktregel). danach hoffen, dass sich die terme schön wegheben!
Gruß
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:01 Mi 19.07.2006 | | Autor: | grda |
Hi,
danke erst mal für die Antwort.
Also ich weiss zwar, dass ich die zweiten Ableitungen durch die ersten Ableitungen unter Verwendung von Produkt- und Kettenregel berechnen kann, aber dummerweise muss ich zugeben, dass ich net ganz so auf der Höhe auf diesem Gebiet bin.
Muss ich jetzt erst die Ketten- oder erst die Produktregel anwenden?
Hab leider auch nix konkretes in meinen Nachschlagewerken dazu gefunden..... ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") .
Ich würde mich sehr freuen, eine der beiden Ableitungen [mm] z_x_x [/mm] oder [mm] z_y_y [/mm] als Beispiel angegeben zu bekommen, weil ich bin mit meinem Latein irgendwie am Ende.
Danke noch mal
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Hi,
du hast ja zB.
$ [mm] z_x [/mm] = [mm] Z_u \cdot{} u_x [/mm] + [mm] Z_v \cdot{} v_x [/mm] $
daraus folgt
[mm] $z_{xx}=(Z_{uu}u_x [/mm] + [mm] Z_{uv}v_x)u_x+Z_u u_{xx} [/mm] + [mm] (Z_{vu}u_x [/mm] + [mm] Z_{vv}v_x)v_x+Z_v v_{xx}$
[/mm]
usw.
Gruß
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:50 Mi 19.07.2006 | | Autor: | grda |
Hallo,
dass is ja super, hab es grad noch mal damit durchgerechnet und es hat alles geklappt. Bin jetzt genau auf das Ergebniss gekommen.
Vielen Dank noch mal und noch nen schönen sonnigen Tag
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